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- 2021-07-01 发布
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9.2
不等式选讲
(
选修
4—5)
-
2
-
-
3
-
-
4
-
-
5
-
-
6
-
1
.
绝对值三角不等式
(1)
定理
1:
若
a
,
b
是实数
,
则
|a+b|
≤
|a|+|b|
,
当且仅当
ab
≥
0
时
,
等号成立
;
(2)
性质
:
|a|-|b|
≤
|a
±
b|
≤
|a|+|b|
;
(3)
定理
2:
若
a
,
b
,
c
是实数
,
则
|a-c|
≤
|a-b|+|b-c|
,
当且仅当
(
a-b
)(
b-c
)
≥
0
时
,
等号成立
.
-
7
-
2
.
绝对值不等式的解法
(1)
含绝对值的不等式
|x|a
(
a>
0)
的解法
:
①
|x|a
⇔
x>a
或
x<-a.
(2)
|ax+b|
≤
c
(
c>
0)
和
|ax+b|
≥
c
(
c>
0)
型不等式的解法
:
①
|ax+b|
≤
c
⇔
-c
≤
ax+b
≤
c
;
②
|ax+b|
≥
c
⇔
ax+b
≥
c
或
ax+b
≤
-c.
(3)
|x-a|+|x-b|
≥
c
(
c>
0)
和
|x-a|+|x-b|
≤
c
(
c>
0)
型不等式的解法
:
①
利用绝对值不等式的几何意义求解
,
体现了数形结合的思想
;
②
利用
“
零点分段法
”
求解
,
体现了分类讨论的思想
.
③
通过构造函数
,
利用函数的图象求解
,
体现了函数与方程的思想
.
-
8
-
-
9
-
4
.
不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等
.
(1)
比较法
:
求差比较法
,
求商比较法
.
①
求差比较法
:
由于
a>b
⇔
a-b>
0,
ab
,
只要证明
a-b>
0
即可
.
②
求商比较法
:
由
a>b>
0
⇔
>
1
且
a>
0,
b>
0,
因此当
a>
0,
b>
0
时要证明
a>b
,
只要
证明
>
1
即可
.
(2)
分析法
:
从待证不等式出发
,
逐步寻求使它成立的充分条件
,
直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式
(
已知条件、定理等
)
.
-
10
-
(3)
综合法
:
从已知条件出发
,
利用不等式的有关性质或定理
,
经过推理论证
,
推导出所要证明的不等式成立
,
即
“
由因寻果
”
的方法
,
这种证明不等式的方法称为综合法
.
5
.
柯西
不等式
-
11
-
考向一
考向二
考向三
解不等式、求参数范围
(
全方位探究
)
例
1
(2018
广东梅州二模
,23)
已知函数
f
(
x
)
=|x+
1
|-|x-
2
|.
(1)
求不等式
f
(
x
)
≥
1
的解集
;
(2)
若不等式
f
(
x
)
≥
x
2
-x+m
的解集非空
,
求
m
的取值范围
.
当
x<-
1
时
,
f
(
x
)
≥
1
无解
;
当
-
1
≤
x
≤
2
时
,
由
f
(
x
)
≥
1,
得
2
x-
1
≥
1,
解得
1
≤
x
≤
2;
当
x>
2
时
,
由
f
(
x
)
≥
1
解得
x>
2
.
所以
f
(
x
)
≥
1
的解集为
{
x|x
≥
1}
.
-
12
-
考向一
考向二
考向三
-
13
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
1
.
解含有两个以上绝对值符号的不等式
,
一般解法是零点分段法
.
即令各个绝对值式子等于
0,
求出各自零点
,
把零点在数轴上从小到大排列
,
然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值
,
进而将绝对值不等式转化为常规不等式
.
2
.
在不等式恒成立的情况下
,
求参数的取值范围
,
可以采取分离参数
,
通过求对应函数最值的方法获得
.
-
14
-
考向一
考向二
考向三
对点训练
1
已知函数
f
(
x
)
=|x+m|+|
2
x-
1
|
(
m>
0)
.
(1)
当
m=
1
时
,
解不等式
f
(
x
)
≥
3;
(2)
当
x
∈
[
m
,2
m
2
]
时
,
不等式
f
(
x
)
≤
|x+
1
|
恒成立
,
求实数
m
的取值范围
.
-
15
-
考向一
考向二
考向三
-
16
-
考向一
考向二
考向三
例
2
已知函数
f
(
x
)
=-x
2
+ax+
4,
g
(
x
)
=|x+
1
|+|x-
1
|.
(1)
当
a=
1
时
,
求不等式
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
的解集
;
(2)
若不等式
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
的解集包含
[
-
1,1],
求
a
的取值范围
.
-
17
-
考向一
考向二
考向三
解
:
(1)
当
a=
1
时
,
不等式
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
等价于
x
2
-x+|x+
1
|+|x-
1
|-
4
≤
0
.
①
当
x<-
1
时
,
①
式化为
x
2
-
3
x-
4
≤
0,
无解
;
当
-
1
≤
x
≤
1
时
,
①
式化为
x
2
-x-
2
≤
0,
从而
-
1
≤
x
≤
1;
(
2)
当
x
∈
[
-
1,1]
时
,
g
(
x
)
=
2
.
所以
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
的解集包含
[
-
1,1],
等价于当
x
∈
[
-
1,1]
时
f
(
x
)
≥
2
.
又
f
(
x
)
在
[
-
1,1]
的最小值必为
f
(
-
1)
与
f
(1)
之一
,
所以
f
(
-
1)
≥
2
且
f
(1)
≥
2,
得
-
1
≤
a
≤
1
.
所以
a
的取值范围为
[
-
1,1]
.
-
18
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
1
.
对于求参数范围问题
,
可将已知条件进行等价转化
,
得到含有参数的不等式恒成立
,
此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式
,
解不等式得参数范围
.
2
.
解答此类问题应熟记以下转化
:
f
(
x
)
>a
恒成立
⇔
f
(
x
)
min
>a
;
f
(
x
)
a
有解
⇔
f
(
x
)
max
>a
;
f
(
x
)
a
无解
⇔
f
(
x
)
max
≤
a
;
f
(
x
)
0,
且关于
x
的不等式
f
(
x
)
< x
有解
,
求实数
a
的取值范围
.
-
22
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
在不等式
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
有解或恒成立时
,
求不等式中所含参数的取值范围或最值
,
可分别作出函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
的图象
,
根据图象找到不等式
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
有解或恒成立的条件
,
从而得出参数的取值范围或最值
.
-
23
-
考向一
考向二
考向三
对点训练
3
(2018
全国卷
3,
理
23)
设函数
f
(
x
)
=|
2
x+
1
|+|x-
1
|.
(1)
画出
y=f
(
x
)
的图象
;
(2)
当
x
∈
[0,
+∞
)
时
,
f
(
x
)
≤
ax+b
,
求
a+b
的最小值
.
-
24
-
考向一
考向二
考向三
y=f
(
x
)
的图象如图所示
.
(2)
由
(1)
知
,
y=f
(
x
)
的图象与
y
轴交点的纵坐标为
2,
且各部分所在直线斜率的最大值为
3,
故当且仅当
a
≥
3
且
b
≥
2
时
,
f
(
x
)
≤
ax+b
在
[0,
+∞
)
成立
,
因此
a+b
的最小值为
5
.
-
25
-
考向一
考向二
考向三
例
4
(2018
全国卷
1,
理
23)
已知
f
(
x
)
=|x+
1
|-|ax-
1
|.
(1)
当
a=
1
时
,
求不等式
f
(
x
)
>
1
的解集
;
(2)
若
x
∈
(0,1)
时不等式
f
(
x
)
>x
成立
,
求
a
的取值范围
.
-
26
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
在不等式
f
(
x
)
>g
(
x
)
成立下
,
求不等式中所含参数的取值范围
,
可对参数进行讨论
,
看参数在哪些范围内不等式能成立
,
然后把使不等式成立的参数的范围合并在一起即可
.
-
27
-
考向一
考向二
考向三
对点训练
4
已知
f
(
x
)
=|x-a|+
3
x
,
其中
a
∈
R
.
(1)
当
a=
1
时
,
求不等式
f
(
x
)
≥
3
x+|
2
x+
1
|
的解集
;
(2)
若不等式
f
(
x
)
≤
0
的解集为
{
x|x
≤
-
1},
求
a
的值
.
-
28
-
考向一
考向二
考向三
解
:
(1)
a=
1
时
,
f
(
x
)
=|x-
1
|+
3
x
,
由
f
(
x
)
≥
|
2
x+
1
|+
3
x
,
得
|x-
1
|-|
2
x+
1
|
≥
0,
故
|x-
1
|
≥
|
2
x+
1
|
,
解得
-
2
≤
x
≤
0,
∴
不等式的解集为
{
x|-
2
≤
x
≤
0}
.
-
29
-
考向一
考向二
考向三
不等式的证明
例
5
(2018
山东潍坊三模
,
文
23)
已知函数
f
(
x
)
=|x+
4
|
,
不等式
f
(
x
)
>
8
-|
2
x-
2
|
的解集为
M.
(1)
求
M
;
(2)
设
a
,
b
∈
M
,
证明
:
f
(
ab
)
>f
(2
a
)
-f
(
-
2
b
)
.
-
30
-
考向一
考向二
考向三
(1)
解
:
将
f
(
x
)
=|x+
4
|
代入
f
(
x
)
>
8
-|
2
x-
2
|
,
得
|x+
4
|+|
2
x-
2
|>
8
.
①
当
x
≤
-
4
时
,
不等式转化为
-x-
4
-
2
x+
2
>
8,
解得
x
<-
,
所以此时
x
≤
-
4
.
②
当
-
4
8,
解得
x<-
2,
所以此时
-
4
8,
解得
x>
2,
所以此时
x>
2
.
综上
,
M=
{
x|x<-
2
或
x>
2}
.
-
31
-
考向一
考向二
考向三
(2)
证明
因为
f
(2
a
)
-f
(
-
2
b
)
=|
2
a+
4
|-|-
2
b+
4
|
≤
|
2
a+
4
+
2
b-
4
|=|
2
a+
2
b|
,
所以要证
f
(
ab
)
>f
(2
a
)
-f
(
-
2
b
),
只需证
|ab+
4
|>|
2
a+
2
b|.
即证
(
ab+
4)
2
>
(2
a+
2
b
)
2
,
即证
a
2
b
2
+
8
ab+
16
>
4
a
2
+
8
ab+
4
b
2
,
即证
a
2
b
2
-
4
a
2
-
4
b
2
+
16
>
0,
即证
(
a
2
-
4)(
b
2
-
4)
>
0,
因为
a
,
b
∈
M
,
所以
a
2
>
4,
b
2
>
4,
所以
(
a
2
-
4)(
b
2
-
4)
>
0
成立
,
所以原不等式成立
.
-
32
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
不等式证明的常用方法是
:
比较法、综合法与分析法
.
其中运用综合法证明不等式时
,
主要是运用基本不等式证明
,
与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式
.
证明过程中一方面要注意不等式成立的条件
,
另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形
.
-
33
-
考向一
考向二
考向三
-
34
-
考向一
考向二
考向三
-
35
-
考向一
考向二
考向三
求代数式的最值
例
6
(2018
河北唐山一模
,
文
23)
设函数
f
(
x
)
=|x+
1
|-|x|
的最大值为
m.
(1)
求
m
的值
;
-
36
-
考向一
考向二
考向三
-
37
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
若题设条件有
(
或者经过化简题设条件得到
)
两个正数和或两个正数积为定值
,
则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值
.
-
38
-
考向一
考向二
考向三
对点训练
6
(2018
湖南衡阳二模
,
理
23)
已知
a>
0,
b>
0,
c>
0
.
若函数
f
(
x
)
=|x+a|+|x-b|+c
的最小值为
4
.
(1)
求
a+b+c
的值
;
解
:
(1)
∵
f
(
x
)
=|x+a|+|x-b|+c
≥
|
(
x+a
)
-
(
x-b
)
|+c=|a+b|+c=a+b+c
,
当且仅当
-a
≤
x
≤
b
时
,
等号成立
,
∴
f
(
x
)
的最小值为
a+b+c
,
∴
a+b+c=
4
.
-
39
-
考向一
考向二
考向三
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