2018届高三数学一轮复习： 重点强化训练3 不等式及其应用 7页

重点强化训练(三)　不等式及其应用 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ C　[取x＝，则lg＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，排除D.]‎ ‎2．(2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　)‎ A．－4　　 B.6　‎ C.10　　 D.17‎ B　[由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，‎ 平移该直线，易知经过点A时z最小．‎ 又知点A的坐标为(3,0)，‎ ‎∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.]‎ ‎3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B.4‎ C．3 D.6‎ C　[由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．‎ 因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.]‎ ‎4．不等式≤x－2的解集是(　　)‎ A．[－∞，0)∪(2,4]　　　　 B.[0,2)∪[4，＋∞)‎ C．[2,4) D.(－∞，2]∪(4，＋∞)‎ B　[①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；‎ ‎②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，‎ 解得0≤x<2.‎ 综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]‎ ‎5．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1) B.(－1,0)‎ C．(0,1) D.(1，＋∞)‎ C　[因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为 ‎＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．‎ ‎－10　[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]‎ ‎7．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为__________. ‎ ‎【导学号：01772217】‎ ‎3　[令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，‎ 当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.‎ ‎∴tmax＝＝3.]‎ ‎8．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为__________．‎ ‎ ‎ ‎【导学号：01772218】‎ ∪　[由题意，要使8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2 α－32cos 2α≤0，‎ 化简得cos 2α≥.‎ 又0≤α≤π，∴0≤2α≤或≤2α≤2π，‎ 解得0≤α≤或≤α≤π.]‎ 三、解答题 ‎9．已知不等式>0(a∈R)．‎ ‎(1)解这个关于x的不等式；‎ ‎(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.1分 ‎①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；‎ ‎②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0.‎ 解得x<－1或x>；3分 ‎③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；‎ 若<－1，即－1－1，即a<－1，则 －10时，解集为.6分 ‎(2)∵x＝－a时不等式成立，‎ ‎∴>0，即－a＋1<0，10分 ‎∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).12分 ‎10．(2016·全国卷Ⅰ改编)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg，乙材料‎1 kg ‎，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg，乙材料‎0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料‎150 kg，乙材料‎90 kg，试求在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元．‎ ‎[解]　设生产产品A x件，产品B y件，则 5分 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．‎ 当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)·>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：01772219】‎ A．[4，＋∞)　　　　　　 B.(－∞，1]‎ C．(－∞，4] D.(－∞，4)‎ D　[因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．]‎ ‎2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是__________. ‎ ‎【导学号：01772220】‎ ‎－　[法一：由于x>0，‎ 则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，‎ 而当x∈时，max＝－，‎ ‎∴a≥－，故a的最小值为－.‎ 法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－.‎ ‎①若－≥，即a≤－1时，f(x)在上单调递减，此时应有f≥0，从而－≤a≤－1.‎ ‎②若－<0，即a>0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)＝1>0恒成立，故a>0.‎ ‎③若0≤－<，即－10.‎ ‎(1)用定义证明f(x)在[－1,1]上是增函数；‎ ‎(2)解不等式f0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，‎ 即f(x)在[－1,1]上为增函数，4分 ‎(2)∵f(x)在[－1,1]上为增函数，‎ ‎∴解得.8分 ‎(3)由(1)可知f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，‎ ‎∴要f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即要t2－2at＋1≥1成立，‎ 故t2－2at≥0，记g(a)＝－2ta＋t2.10分 对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，‎ ‎∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.‎ ‎∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}.12分