数学卷·2018届重庆市第一中学高二10月月考理数试题 （解析版） 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.双曲线的一个焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，所以交点坐标为.‎ 考点：双曲线的概念．‎ ‎【易错点晴】双曲线的标准方程中对的要求只是，易误认为与椭圆标准方程中的要求相同．若，则双曲线的离心率；若，则双曲线的离心率；若，则双曲线的离心率.注意区分双曲线中的大小关系与椭圆关系，在椭圆中，而在双曲线中.‎ ‎2.过椭圆的一焦点作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】B 考点：椭圆的通径．‎ ‎3.已知双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线，则 双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：双曲线的概念与性质．‎ ‎4.的角的对边分别为，已知，则的长度是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得.‎ 考点：解三角形．‎ ‎5.已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，.‎ 考点：数列，三角函数．‎ ‎6.若直线平分圆的周长，则的取值范 围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎7.设实数满足，则取得最小值时的最优解的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．无数个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值.‎ 考点：线性规划．‎ ‎8.已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线于 两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎9.已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎10.若正实数满足，则的最小值是（ ）‎ A．12 B．6 C．16 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由化简得，.‎ 考点：基本不等式．‎ ‎11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长 交双曲线于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：双曲线、圆的位置关系，向量运算．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查双曲线、圆的位置关系，向量运算等知识.圆的半斤为，直线和圆相切，，由知为中点，所以可以得到是三角形的中位线，再结合中位线和双曲线的定义，可求得的数量关系，进而求得双曲线的离心率. 的几何意义就是三角形的中线.‎ ‎12.对任意实数，定义符号，已知函数，‎ 直线，若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎ 考点：新定义运算．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查新定义运算，直线与双曲线的位置关系，直线与椭圆的位置关系.先根据新定义的运算，将函数的表达式求出来.对两段表达式平方后整理，可以发现其中一段是双曲线的一部分，另一段是椭圆的一部分.直线和椭圆有一个交点，转化为联立方程组后判别式等于零.直线和双曲线的渐近线平行式，直线和双曲线只有一个交点.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知向量，向量与向量夹角为，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：向量的数量积．‎ ‎14.设等比数列满足，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，代回解得，所以.‎ 考点：等比数列．‎ ‎15.已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值 为，则动点的轨迹方程为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：轨迹方程．‎ ‎【思路点晴】本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查椭圆定义与椭圆的标准方程，考查余弦定理与基本不等式求最值.是圆锥曲线与基本不等式知识相结合的一个综合性试题，知识覆盖面很广.在求解过程中，先注意到动点到两个定点的距离之和为常数，所以考虑轨迹是椭圆，然后利用余弦定理和基本不等式建立不等式，由不等式的最小值求出.‎ ‎16.椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若 的内切圆面积为，两点的坐标分别为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查两点纵坐标之差的绝对值的几何意义，考查椭圆的定义，考查有关三角形外切圆半径的面积公式.第一步先根据题意画出图像，由于题目给定内切圆面积为，由此可知内切圆的半径为，再根据三角形面积公式可计算出面积为，将三角形分成两个部分，同时以为底，高恰好就是.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知直线．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）当时，求直线与之间的距离．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 考点：两条直线的位置关系．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知曲线的方程是：，点．‎ ‎（1）若，直线过点且与曲线只有一个公共点，求直线的方程；‎ ‎（2）若曲线表示圆且被直线截得的弦长为，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）时，配方得，这是圆的方程.当直线斜率不存在是，方程为与圆恰好只有一个交点.当直线斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径，可求出斜率为，从而求得直线方程为；（2）配方得，圆心的到直线的距离，据圆的弦长公式得.‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数，中，角、、的对边分别是、、．‎ ‎（1）若角、、成等差数列，求的值；‎ ‎（2）若，且、、成等比数列，面积，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）角、、成等差数列，，所以；（2）由化简得，，根据面积公式求得 ‎，而，再由余弦定理有，所以周长为.‎ 考点：数列，解三角形．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，其前项和为，如果对任意的，都有成立，‎ 求的表达式及实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用求得；（2）化简.利用分组求和法和裂项求和法可求得，是增函数，，故.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又，故 ‎②∵，∴，又，‎ 故，则是增函数，‎ ‎，故 考点：数列与数列求和．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右顶点为、，左右焦点为，其长半轴的长等于焦距，点 是椭圆上的动点，面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆交于异于、的点 ‎、，判断点与以为直径的圆的位置关系．‎ ‎【答案】（1）；（2）圆内.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，直线与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法. 长半轴的长等于焦距转化为，当为椭圆上顶点时，三角形的面积最大即，再结合椭圆的恒等式联立方程组可求得的值.第二问要判断点与圆的位置关系，转化为点和直径两个端点所成向量的数量积来判断.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①‎ ‎；②；③．‎ ‎（1）求顶点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设 弦的中点分别为．‎ ①求四边形的面积的最小值；‎ ②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据得，所以为的重心，由②知是的外心，设求得，，根据化简得；（2）①由已知得，由此可设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系、弦长公式和点到直线距离公式求得面积的表达式，利用基本不等式求得最小值为；②根据中点坐标公式得，同理可求得，利用直线方程两点式求得直线方程，并令求得，所以直线过定点.‎ ‎（2）解：恰为的右焦点，‎ ‎①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，‎ 由，‎ 设则，‎ ‎①根据焦半径公式得，‎ 又，‎ 所以，同理，‎ 则，‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．‎ ‎【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎ ‎