数学（理）卷·2019届河北省衡水中学滁州分校高二下学期第一次月考（2018-04） 10页

启用前绝密 河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期第一次月考试卷 高二理科数学 注意事项：‎ ‎1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟 ‎ ‎2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎3．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，共60分。) ‎ ‎1.下列判断错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”是假命题 B. 直线不能作为函数图象的切线 C. “若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题 D. “”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件 ‎2.曲线(e为自然对数的底数)在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D.‎ ‎3.若 ，则 等于（    ） A.-2 B.-4 C.2 D.0‎ ‎4.若函数的导函数则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D.‎ ‎5.设函数 ， 的导函数为 ， 且 ， ， 则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（ ） A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎6.已知函数 ， 图像的最高点从左到右依次记为,函数的图像与轴的交点从左到右依次记为 ， 设 ， 则( ) A. B.- C. D.-[来源]‎ ‎7.函数的图像在点处的切线的斜率等于（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎8.已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（   ） A.0 B.l C.2 D.3‎ ‎9.已知函数，若对任意的,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数的图象如图所示，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知数列满足， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题(本大题共4个小题，共20分。)‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a＞0）在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 的图象所围成的封闭图形的面积是    ．‎ ‎14.函数在处的切线方程是________________．‎ ‎15.已知函数，若，则______．‎ ‎16.若定义在上的函数，则__________．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)‎ ‎17.设f（x）=（lnx）ln（1﹣x）． （1）求函数y=f（x）的图象在（ ，f（ ））处的切线方程； （2）求函数y=f′（x）的零点．‎ ‎18.已知函数f（x）= 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （1）求实数a的值及f（x）的极值； （2）若对任意x1 ， x2∈[e2 ， +∞），有| |＞ ，求实数k的取值范围．‎ ‎19.通过计算可得下列等式：‎ ‎ ‎ ‎┅┅‎ 将以上各式分别相加得： ‎ 即： ‎ 类比上述求法：请你求出的值.‎ ‎20.已知， （） ‎ ‎（1）计算这个数列前4项，并归纳该数列一个通项公式。‎ ‎（2）用数学归纳法证明上述归纳的通项公式 ‎21.已知函数 ，a为正常数． （1）若f（x）=lnx+φ（x），且 ，求函数f（x）的单调增区间； （2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，求a的取值范围．‎ ‎22.已知数列，，，，为该数列的前项和．‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ 滁州分校2017-2018学年上学期第一次月考试卷 高二理科数学参考答案 一、选择题(本大题共12个小题，共60分。) ‎ ‎1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.D 11.A 12.D 二、填空题(本大题共4个小题，共20分。)‎ ‎13. ‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)‎ ‎17.（1）解：f′（x）= ， ‎ 故f（ ）=ln2 ，f′（ ）=0，‎ 故切线方程是：y=ln2 ‎ ‎ （2）解：由（1）得，令f′（x）=0，即（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx=0， ‎ 令h（x）=（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx，（0＜x＜1），‎ 则h′（x）=lnx（1﹣x），h″（x）= ，‎ 令h″（x）＞0，解得：0＜x＜ ，‎ 令h″（x）＜0，解得：x＞ ，‎ 故h′（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，‎ 故h′（x）＜h′（ ）=ln ＜0，‎ 故h（x）在（0，1）递减，‎ 而h（ ）=0，‎ 故h（x）在（0，1）的零点是x= ．‎ ‎18.（1）解：∵函数f（x）= ， ‎ ‎∴ ，‎ 令f'（1）=0，‎ ‎∴ =0，‎ 解得a=1；‎ 令f′（x）=0，则lnx=0，‎ 解得x=1，‎ 即f（x）有极大值为f（1）=1 （2）解：由| |＞ ，可得 ， ‎ 令 ，则g（x）=x﹣xlnx，其中x∈（0，e﹣2]，‎ g'（x）=﹣lnx，又x∈（0，e﹣2]，则g'（x）=﹣lnx≥2，‎ 即 ，‎ 因此实数k的取值范围是（﹣∞，2]‎ ‎19. 【解析】 ‎ ‎ ‎ 将以上各式分别相加得： ‎ 所以： ‎ ‎20.（1）（2）见解析 ‎【解析】（1），归纳 ‎ ‎（2）当n=1时，显然成立；‎ 假设命题成立，即，则 ‎ 所以当n=k+1时，命题也成立 故，对任意的， 恒成立 ‎21.（1）解： ， ‎ ‎∵ ，令f′（x）＞0，得x＞2，或 ，‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间为 ，（2，+∞）‎ ‎ （2）解：∵ ， ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．‎ 当1≤x≤2时， ， ，‎ 令h′（x）≤0，得： 对x∈[1，2]恒成立，‎ 设 ，则 ，‎ ‎∵1≤x≤2，∴ ，‎ ‎∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为 ，‎ ‎∴ ‎ 当0＜x＜1时， ， ，‎ 令h′（x）≤0，得： ，‎ 设 ，则 ，‎ ‎∴t（x）在（0，1）上是增函数，‎ ‎∴t（x）＜t（1）=0，‎ ‎∴a≥0．‎ 综上所述， ‎ ‎22.(1) ‎ ‎(2) ，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）．‎ ‎（2）猜想，‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，，猜想成立；‎ ‎② 假设当时，猜想成立，即，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当时，猜想成立．‎ 由①②可知，对于任意的，都成立．‎