高中数学选修2-2教学课件第五章 2_1 33页

第五章　数系的扩充与复数的引入 §2 复数的四则运算 2.1 　复数的加法与减法 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则 . 2. 理解复数加减法的几何意义，能够利用 “ 数形结合 ” 的思想解题 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 复数加法与减法的运算法则 (1) 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i 是任意两个复数，则 z 1 ＋ z 2 ＝ ， z 1 － z 2 ＝ . (2) 对任意 z 1 ， z 2 ， z 3 ∈ C ，有 z 1 ＋ z 2 ＝ ， ( z 1 ＋ z 2 ) ＋ z 3 ＝ . ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ( a － c ) ＋ ( b － d )i z 2 ＋ z 1 z 1 ＋ ( z 2 ＋ z 3 ) 2. 复数加减法的几何意义 如图：设复数 z 1 ， z 2 对应向量分别 为 ， 四边形 OZ 1 ZZ 2 为平行四边形，则与 z 1 ＋ z 2 对应的向量 是 ，与 z 1 － z 2 对应的向量 是 . 探要点 · 究 所然 情境导学 我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？ 探究点一　复数加减法的运算 思考 1 　我们规定复数的加法法则如下：设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i 是任意两个复数，那么 ( a ＋ b i) ＋ ( c ＋ d i) ＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i. 那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗 ？ 答　 仍然是个复数，且是一个确定的复数 ； 思考 2 　复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则 . 答　 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项 . ( a ＋ b i) － ( c ＋ d i) ＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i. 思考 3 　实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明 . 答　 满足，对任意的 z 1 ， z 2 ， z 3 ∈ C ，有交换律： z 1 ＋ z 2 ＝ z 2 ＋ z 1 . 结合律： ( z 1 ＋ z 2 ) ＋ z 3 ＝ z 1 ＋ ( z 2 ＋ z 3 ). 证明：设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i ， z 1 ＋ z 2 ＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ， z 2 ＋ z 1 ＝ ( c ＋ a ) ＋ ( d ＋ b )i ， 显然， z 1 ＋ z 2 ＝ z 2 ＋ z 1 ，同理可得 ( z 1 ＋ z 2 ) ＋ z 3 ＝ z 1 ＋ ( z 2 ＋ z 3 ). 例 1 　 计算： (1)(1 ＋ 2i) ＋ ( － 2 ＋ i) ＋ ( － 2 － i) ＋ (1 － 2i) ； 解　 原式＝ (1 － 2 － 2 ＋ 1) ＋ (2 ＋ 1 － 1 － 2)i ＝－ 2 . (2)1 ＋ (i ＋ i 2 ) ＋ ( － 1 ＋ 2i) ＋ ( － 1 － 2i). 解 　 原 式＝ 1 ＋ (i － 1) ＋ ( － 1 ＋ 2i) ＋ ( － 1 － 2i) ＝ (1 － 1 － 1 － 1) ＋ (1 ＋ 2 － 2)i ＝－ 2 ＋ i . 反思与感悟　 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项 . 跟踪训练 1 　计算： (1)2i － [(3 ＋ 2i) ＋ 3( － 1 ＋ 3i)] ； 解　 原 式＝ 2i － (3 ＋ 2i － 3 ＋ 9i) ＝ 2i － 11i ＝－ 9i. (2)( a ＋ 2 b i) － (3 a － 4 b i) － 5i( a ， b ∈ R ). 解　 原 式＝－ 2 a ＋ 6 b i － 5i ＝－ 2 a ＋ (6 b － 5)i . 探究点二　复数加减法的几何意义 思考 1 　复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 思考 2 　 怎样作出与复数 z 1 － z 2 对应的向量？ 答　 z 1 － z 2 可以看作 z 1 ＋ ( － z 2 ). 因为复数的加法可以按照向量的加法来进行 . 所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z 1 － z 2 对应的向量 ( 如图 ). 例 2 　 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O ， A ， C 分别表示 0,3 ＋ 2i ，－ 2 ＋ 4i. 求： 反思与感悟　 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用 . 跟踪训练 2 　复数 z 1 ＝ 1 ＋ 2i ， z 2 ＝－ 2 ＋ i ， z 3 ＝－ 1 － 2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数 . 解　 设复数 z 1 ， z 2 ， z 3 在复平面内所对应的点分别为 A ， B ， C ，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x ＋ y i( x ， y ∈ R ) ，如图 . 故点 D 对应的复数为 2 － i. 探究点三　复数加减法的综合应用 例 3 　 已知 | z 1 | ＝ | z 2 | ＝ | z 1 － z 2 | ＝ 1 ，求 | z 1 ＋ z 2 |. 解　 方法一　设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R ) ， ∵ | z 1 | ＝ | z 2 | ＝ | z 1 － z 2 | ＝ 1 ， ∴ a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ＋ d 2 ＝ 1 ， ① ( a － c ) 2 ＋ ( b － d ) 2 ＝ 1 ， ② 由 ①② 得 2 ac ＋ 2 bd ＝ 1 ， 方法二　设 O 为坐标原点， z 1 ， z 2 ， z 1 ＋ z 2 对应的点分别为 A ， B ， C . ∵ | z 1 | ＝ | z 2 | ＝ | z 1 － z 2 | ＝ 1 ， ∴△ OAB 是边长为 1 的正三角形 ， ∴ 四边形 OACB 是一个内角为 60° ，边长为 1 的菱形， 且 | z 1 ＋ z 2 | 是菱形的较长的对角线 OC 的长， 反思与感悟　 (1) 设出复数 z ＝ x ＋ y i( x ， y ∈ R ) ，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为 x ， y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章 “ 复数问题实数化 ” 思想的应用 . (2) 在复平面内， z 1 ， z 2 对应的点为 A ， B ， z 1 ＋ z 2 对应的点为 C ， O 为坐标原点，则四边形 OACB ① 为平行四边形； ② 若 | z 1 ＋ z 2 | ＝ | z 1 － z 2 | ，则四边形 OACB 为矩形； ③ 若 | z 1 | ＝ | z 2 | ，则四边形 OACB 为菱形； ④ 若 | z 1 | ＝ | z 2 | 且 | z 1 ＋ z 2 | ＝ | z 1 － z 2 | ，则四边形 OACB 为正方形 . 跟踪训练 3 　若复数 z 满足 | z ＋ i| ＋ | z － i| ＝ 2 ，求 | z ＋ i ＋ 1| 的最小值 . 解　 设复数－ i ， i ，－ (1 ＋ i) 在复平面内对应的点分别为 Z 1 ， Z 2 ， Z 3 ，如图 . ∵ | z ＋ i| ＋ | z － i| ＝ 2 ， Z 1 Z 2 ＝ 2 ， ∴ 点 Z 的集合为线段 Z 1 Z 2 . 问题转化为：动点 Z 在线段 Z 1 Z 2 上移动，求 ZZ 3 的最小值 . 连接 Z 3 Z 1 ， Z 3 Z 1 ⊥ Z 1 Z 2 ， 则 Z 3 与 Z 1 的距离即为所求的最小值， Z 1 Z 3 ＝ 1. 故 | z ＋ i ＋ 1| 的最小值为 1. 当堂测 · 查 疑缺 C 1 2 3 4 5 2. 若 z ＋ 3 － 2i ＝ 4 ＋ i ，则 z 等于 ( 　　 ) A.1 ＋ i B.1 ＋ 3i C. － 1 － i D . － 1 － 3i 解析　 z ＝ 4 ＋ i － (3 － 2i) ＝ 1 ＋ 3i . B 1 2 3 4 5 3. 在复平面内， O 是 原点 ， 表示的复数分别 为 － 2 ＋ i ， 3 ＋ 2i,1 ＋ 5i ， 则 表示 的复数为 ( 　　 ) A.2 ＋ 8i B . － 6 － 6i C.4 － 4i D . － 4 ＋ 2i C 1 2 3 4 5 4. 若 | z － 1| ＝ | z ＋ 1| ，则复数 z 对应的点在 ( 　　 ) A. 实轴上 B . 虚轴上 C. 第一象限 D . 第二 象限 解析　 ∵ | z － 1| ＝ | z ＋ 1| ， ∴ 点 Z 到 (1,0) 和 ( － 1,0) 的距离相等 ， 即 点 Z 在以 (1,0) 和 ( － 1,0) 为端点的线段的中垂线上即虚轴上 . B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5. 已知复数 z 1 ＝ ( a 2 － 2) ＋ ( a － 4)i ， z 2 ＝ a － ( a 2 － 2)i( a ∈ R ) ，且 z 1 － z 2 为纯虚数，则 a ＝ ________. 5 解析　 z 1 － z 2 ＝ ( a 2 － a － 2) ＋ ( a － 4 ＋ a 2 － 2)i( a ∈ R ) 为纯虚数， － 1 呈 重点、现 规律 1. 复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算 . 2. 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则 . 复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看