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- 2021-07-01 发布
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湖南省常德市第二中学2020届高三临考冲刺
数学试题(文)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内,复数z=对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已知集合P={-1,2a+1,a2-1},若0∈P,则实数a的取值集合为( )
A. (,1,-1) B. (,0) C. (,1) D. (,-1)
3. 为庆祝建国70周年,某校举办“唱红歌,庆十一”活动,现有A班3名学生,B班2名学生,从这5名学生中选2人参加该活动,则选取的2人来自不同班级的概率为( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若F2到双曲线的渐近线的距离为,离心率e∈(2,+∞),则焦距|F1F2|的取值范围是( )
A.(2,4) B.(3,4) C.(0,4) D.(2,4)
5. 执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )
A.25 B.56 C.119 D.246
6. 阳马,中国古代算术中的一种几何形体,是底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥体,在阳马P-ABCD中最长的棱,AB=1,AD=2,PC=3,若在阳马P-ABCD的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为
A. B. C. D.
7. 设a=sin(-810°),b=tan(-),c=lg ,则它们的大小关系为( )
A.a0,|φ|<)的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像,若函数g(x)的最小正周期为π,x=为函数g(x)的一条对称轴,则函数g(x)的一个增区间为( )
A.(0,) B.(,π) C.(,) D.(,)
12. 数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n.设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,若
Sn<λ(λ为常数,n∈N*),则λ的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,cos(α-β)=________.
14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位:万度)的一组数据:
月份x
1
2
3
4
用电量y
4.5
4
3
2.5
由散点图(图略)可知,用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=-0.7x+,则=________.
15.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若=2,则椭圆的离心率为________.
16.已知正四面体P-ABC的棱长均为a,O为正四面体P-ABC的外接球的球心,过点O作平行于底面ABC的平面截正四面体P-ABC,得到三棱锥P-A1B1C1和三棱台ABC-A1B1C1,那么三棱锥P-A1B1C1的外接球的表面积为________.
三、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1·,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位:克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1)现按分层抽样的方法从质量为[250,300),[300,350)内的芒果中随机抽取6个,再从这6个中随机抽取3个,求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率;
(2)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出如下两种收购方案:
A方案:所有芒果以10元/千克收购;
B方案:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
19.如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在三边AB,BC和CA上,且D为AB的中点,∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°).
(1)当tan∠DEF=时,求θ的大小;
(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.
20.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.
21.如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D,求证:AC∥平面POD;
(2)如果△PAB的面积是9,求此圆锥的表面积.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为y2=2px(p>0),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρsin=,l与x轴交于点M.
(1)求l的直角坐标方程和点M的极坐标;
(2)设l与C相交于A,B两点,若|MA|,|AB|,|MB|成等比数列,求p的值.
23.[选修4-5:不等式选讲]
设函数f(x)=|x-a|.
(1)若关于x的不等式f(x)+b<0的解集为(-1,3),求a,b的值;
(2)若g(x)=2f(x)+2f(x+1),求g(x)的最小值.
参考答案
1. D
【解析】=-i,对应点的坐标为(,-)位于第四象限.
2. C
【解析】当2a+1=0时,a=-满足;当a2-1=0时,a=±1,经检验a=1满足,即a∈(-,1).
3. A
【解析】将A班学生编号为a,b,c,B班学生编号为d,e.则选取两人有(a,b),(a,c), (a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d, e)共10 种选法,满足条件的有6种,所以概率为.
4. D
【解析】因为F2到双曲线的渐近线y=±x的距离为=b,b=,又>2,∴a<,又∵c2=a2+3,∴360不成立;k=7,S=10,7>60不成立;k=15,S=25,15>60不成立;k=31,S=56,31>60不成立;k=63,S=119成立,63>60,输出S=119,结束程序.
6. C
【解析】根据题意,PC的长等于其外接球的直径,因为PC=,∴3=,∴PA=2,又PA⊥平面ABCD,所以VP-ABCD=×1×2×2=,V球=π×()3,P==.
7. B
【解析】∵a=sin(-810°)=-1,c=lg=-lg5<-lg=-,-1=a0,故A项正确.故选A项.
10. C
【解析】如图,当x1∈[-2,0]时,f(x1)max=f(-1)=-1;当x2∈[1,2]时,g(x2)为增函数,则g(x2)max=g(2)=6+m.由题意知f(x1)max≤g(x2)max,即-1≤6+m,即m≥-7.
11. C
【解析】 f(x)=sin(wx+φ-),g(x)=sin(wx-+φ-),因为g(x)的最小正周期为π,所以=π,所以w=2.由x=为g(x)的一条对称轴,则φ-=+kπ(k∈Z),即φ=-,故g(x)=sin(2x-).令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),即+kπ≤x≤+kπ.
12. C
【解析】a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n,①
当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2+(n-1)an-1=(2n-3)·3n-1,②
①-②得,nan=4n·3n-1,即an=4·3n-1(n≥2).
当n=1时,a1=3≠4,
所以an=bn=所以Sn=+++…+=++++…+,③
Sn=++++…++,④
③-④得,Sn=++++…+-=+-,所以Sn=-<,所以λ的最小值是.故选C项.
13. -
【解析】∵角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,
∴sin α=sin β=,cos α=-cos β,
∴cos=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-1=-.
14. 5.25
【解析】因为==2.5,==3.5,所以点(2.5,3.5)在回归直线=-0.7x+上,即3.5=-0.7×2.5+,解得=5.25.
15.
【解析】设C(x,y),由=2,得∴C.又C为椭圆上一点,
∴+=1,解得e=.
16. a2
【解析】设底面△ABC的外接圆半径为r,则=2r,所以r=a.所以正四面体的高为=a,设正四面体的外接球半径为R,则R2=2+2,∴R=a.因为∶=3∶4,所以三棱锥P-A1B1C1的外接球的表面积为4π×2×2=a2.
17. 解:(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得S
eq oal(2,2)=S1S4,即(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.
(2)由题意可知bn=(-1)n-1·=(-1)n-1·.
当n为偶数时,Tn=-+-+…+-=;当n为奇数时,Tn=-+-+…-+=.
所以Tn=
18. 解:(1)设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A,B,C,D,质量在[300,350)内的2个芒果分别为a,b.从这6个芒果中选出3个的情况共有(A,B,C),(A,B,D),(A,B,a),(A,B,b),(A,C,D),(A,C,a),(A,C,b),(A,D,a),(A,D,b),(A,a,b),(B,C,D),(B,C,a),(B,C,b),(B,D,a),(B,D,b),(B,a,b),(C,D,a),(C,D,b),(C,a,b),(D,a,b),共计20种.其中恰有1个在[300,350)内的情况有(A,B,a),(A,B,b),(A,C,a),(A,C,b),(A,D,a),(A,D,b),(B,C,a),(B,C,b),(B,D,a),(B,D,b),(C,D,a),(C,D,b),共计12种,
因此概率P==.
(2)方案A:
(125×0.002+175×0.002+225×0.003 +275×0.008+325×0.004+375×0.001) ×50×10 000×10×0.001=25 750(元).
方案B:
由题意得低于250克:
(0.002+0.002+0.003)×50×10 000×2=7 000(元);
高于或等于250克:
(0.008+0.004+0.001)×50×10 000×3=19 500(元),
所以共获利7 000+19 500=26 500(元).
由于25 750<26 500,
故B方案获利更多,应选B方案.
19. 解:(1)在△BDE中,由正弦定理得DE==,
在△ADF中,由正弦定理得DF==.
由tan∠DEF=,得=,
整理得tan θ=,所以θ=60°.
(2)S=DE·DF=
=
==.
当θ=45°时,S取最小值=.
20. 解:(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a≠0),
由抛物线C经过点P(1,2),得a=4,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)因为|PM|=|PN|,
所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,
所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.
依题意,直线AP的斜率存在,
设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k≠0),
将其代入抛物线C的方程,
整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.
设A(x1,y1),则1×x1=,
y1=k(x1-1)+2=-2,
所以A,
以-k替换点A坐标中的k,
得B.
所以kAB==-1.所以直线AB的斜率为-1.
21.(1)证明:方法一 设BC∩OD=E,
∵D是弧BC的中点,
∴E是BC的中点.
又∵O是AB的中点,
∴AC∥OE.
又∵AC⊄平面POD,OE⊂平面POD,
∴AC∥平面POD.
方法二 ∵AB是底面圆的直径,
∴AC⊥BC.
∵弧BC的中点为D,
∴OD⊥BC.
又AC,OD共面,
∴AC∥OD.
又AC⊄平面POD,OD⊂平面POD,
∴AC∥平面POD.
(2)解:设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,
∴h=r,l=r.
由S△PAB=×2r×h=r2=9,得r=3,
∴S表=πrl+πr2=πr×r+πr2=9(1+)π.
22.解:(1)由2ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=,y=x+,
∴l的直角坐标方程为y=x+,
令y=0得点M的直角坐标为(-1,0),
∴点M的极坐标为(1,π).
(2)由(1)知l的倾斜角为,参数方程为(t为参数)代入y2=2px得3t2-4pt+8p
=0,∴t1+t2=,t1t2=,
∵|AB|2=|MB|·|MA|,∴(t1-t2)2=t1t2,
∴(t1+t2)2=5t1t2,
∴=5×,∴p=.
23.解:(1)由f(x)+b<0得,|x-a|<-b,
当b≥0时,不合题意;
当b<0时,a+b