数学理卷·2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考（2018 14页

临川二中、新余四中 2018 届高三年级1月联考 数学（理科）试卷 ‎ 命题人：临川二中 季志林 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）‎ 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项）‎ ‎1．已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知 是虚数单位，则复数的虚部为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知等差数列的前 项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设 满足约束条件，则目标函数 取最小值时的最优解 是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．同时具备以下性质：“①最小正周期是 ；②图象关于直线对称；③在上是增 函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．若二项式的展开式中 的系数为 ，则 的值为( ) A. B. C. D. ‎ ‎8．若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N＝n(mod m)， 例如 10＝4(mod 6)．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 ‎《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的 n 等于( )‎ A．17 B．16 C．15 D．13‎ ‎9. 公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图，发现了黄金分割比约为 ，这一数值也可 以表示为，若，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线 的离心率为 2，左右焦点 分别为，点在双曲线上，若的周长为，则 的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11．已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 2 的等腰直角三角 形，侧视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面 积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12．已知函数，若有且只有两个整数， 使得， 且，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）‎ 二、填空题：（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷的相应位置）‎ ‎13.已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，k)，若 a 与 b 共线，则|3a＋b |＝ ．‎ ‎14．在三个盒子中各有编号分别为 1，2，3 的 3 个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各 取出 1 个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为 ．‎ ‎15．椭圆： 的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y＝‎ c)与椭圆的一个交点 M 满足∠ MF1F2＝2∠ MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．‎ ‎16.如图所示，在平面四边形中，， ‎ 为正三角形，则 面积的最大值为 ．‎ ‎3(x＋‎ 三、解答题：（本大题有 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分 12 分）‎ 已知等差数列的前 项和为，数列是等比数列，满足， ， ， ．‎ ‎(Ⅰ)求数列和的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)令设数列 的前 项和 ，求 ．‎ ‎18.（本小题满分 12 分）‎ 如图，已知多面体的底面 是边长为的正方 形，，，且 .‎ ‎（Ⅰ）记线段的中点为，在平面 内过点 作一条直线与 平面平行，要求保留作图痕迹，并简要说明作法，但不要求证明；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.（本小题满分 12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：‎ 质量指标值 m m<185‎ ‎185≤m<205‎ m≥205‎ 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取 200 件，检测后得到如下的频率分布直方图：‎ ‎(Ⅰ)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 ‎92%”的规定？‎ ‎(Ⅱ)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，求抽 取的 4 件产品中，一、二、三等品都有的概率；‎ ‎(Ⅲ)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值 X 近似满足 X～N(218，140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？‎ ‎20.（本小题满分 12 分）‎ 如图，点是抛物线 的焦点，点是抛物线上的定点，且 ，‎ 点是抛物线上的动点，直线的斜率分别为. (Ⅰ)求抛物线的方程； (Ⅱ)若，点是处切线的交点，记的面 积为，证明是定值.‎ ‎21.（本小题满分 12 分） 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当 时，求函数 在上的最小值；‎ ‎(Ⅱ)若对任意 ，不等式恒成立，求 的取值范围；‎ 请考生在 22、23 中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目记分， 作答时，请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 的参数方程为（ ， 为参数），曲线 的极坐标方程为 ‎.‎ ‎(Ⅰ)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；‎ ‎(Ⅱ)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.‎ ‎23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 .‎ ‎(Ⅰ)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥的解集；‎ ‎(Ⅱ)若对任意 a∈ [0,1]，不等式 f(x)≥b 的解集为空集，求实数 b 的取值范围．‎ 临川二中、新余四中 2018 届高三年级联考 数学（理科）参考答案 一、选择题 ADCBAD CACBCB 二、填空题：‎ ‎13. ； 14.； 15. ； 16.‎ ‎16.【解析】解法一：在△ABC 中，设∠ ABC=α，∠ ACB=β，由余弦定理得：‎ AC2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα，‎ ‎∵ △ACD 为正三角形，‎ ‎∴ CD2=5-4cosα，‎ 由正弦定理得： ‎ ‎∵ （CD•cosβ）2=CD2（1-sin2β）=CD2-sin2α=5-4cosα-sin2α=（2-cosα）2，‎ ‎∵ β＜∠ BAC，∴ q为锐角，CD•cosβ=2-cosα，‎ ‎∴ S△BCD=•2•CD•sin（+β）=CD•sin（+β）=CD•cosβ+CD•sinβ=‎ ‎•（2-cosα）+sinα= +sin（α-）当α=时，（S△BCD）max= +1‎ 解法二：‎ 三、解答题：‎ ‎17．（1）设数列的公差为，数列的公比为 ，‎ 由 ， ，得解得 ‎∴ ‎ ‎，…………………………3 分 ．…………………………6 分 ‎（2）由， ，得，‎ 则 为奇数时， ， 为偶数时， ，‎ ‎∴ ‎ ‎…………………………12 分 ‎18.（Ⅰ）取线段 CD 的中点；连接，直线即为所求．………………………3 分 图上有正确的作图痕迹 ‎………………………6 分 ‎（Ⅱ）以点 A 为原点，AB 所在的直线为 轴，AD 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图．由 已知可得 A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),‎ 所以 设平面 ECF 的法向量为 ，‎ 则 得：‎ 取 y=1,得平面 的一个法向量为 设直线 与平面 所成角为 ，‎ 所以 ………………………12 分 ‎19.(Ⅰ)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为 0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝‎ ‎0.875，由于该估计值小于 0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部 产品 92%”的规定．…………………………4 分 ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为 0.375、0.5、0.125，故在样本中用分 层抽样方法抽取的 8 件产品中，一等品 3 件，二等品 4 件，三等品 1 件. 再从这 8 件产品中随机抽 取 4 件，一、二、三等品都有的情形有 2 种：①一等品 2 件，二等品 1 件，三等品 1 件；②一等品 C2C1C1＋C1C2C1 3‎ ‎7‎ ‎1 件，二等品 2 件，三等品 1 件．故所求的概率 P＝ ＝ .………………8 分 C ‎4‎ ‎8‎ ‎(Ⅲ)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 ‎170×0.025＋180×0.1＋190×0.2＋200×0.3＋210×0.26＋220×0.09＋230×0.025＝200.4，‎ ‎“质量提升月”活动后， 产品质量指标值 X 近似满足 X～N(218， 140)， 即质量指标值的均值约 为 218.‎ 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 17.6.…………12 分 ‎21.（1） 时，‎ ‎∴ ， ，‎ ‎∴ 函数在上是增函数，‎ 又∵ ，∴ 当时， ，‎ 即函数 在区间上递增，∴ .……………………4 分 ‎（2），‎ 由（1）知函数 在 上是增函数，且 ，使得 ，‎ 进而函数 在区间 上递减，在 上递增，‎ ‎，‎ 由 ，得： ，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎，不等式 ‎，…………………………6 分 ‎， 恒成立，‎ ‎∴‎ 设 ‎，∴ ，…………………………8 分 ‎，则为增函数，且有唯一零点，设为 ‎，‎ 则 ‎，则 ，即，‎ 令 ‎，则 单调递增，且，‎ 则 ‎∵‎ ‎，即 ‎，…………………………10 分 在为增函数，‎ 则当 时， 有最大值， ，‎ ‎∴ ，∴ 的取值范围是.…………………………12 分 ‎22．（1）由可得 ，即 ，………………………3 分 ‎∴ 曲线表示的是焦点为，准线为 的抛物线. …………………………5 分 ‎（2）将 代入，得，∴ ，‎ ‎∵ ，∴ ，‎ ‎∴ 直线 的参数方程为 (为参数).…………………………7 分 将直线的参数方程代入得， 由直线参数方程的几何意义可知，‎ ‎. …………………………10 分 ‎1 1‎ ‎23．(1)当 a＝1 时，f(x)≥ 等价于|x＋1|－|x|≥ .‎ ‎2 2‎ ‎1‎ ‎①当 x≤－1 时，不等式化为－x－1＋x≥ ，无解；…………………………2 分 ‎2‎ ‎≥ ，‎ ‎②当－1[f(x)]max.‎ 因为 f(x)＝|x＋‎ a |－|x－‎ ‎1－a |≤|x＋‎ a －x＋‎ ‎1－a |＝| a ＋‎ ‎1－a |＝ a ＋‎ ‎1－a ，‎ 当且仅当 x≥‎ ‎1－a 时取等号，所以[f(x)]max＝ a ＋‎ ‎1－a .‎ 因为对任意 a∈ [0,1]，不等式 f(x)≥b 的解集为空集，所以 b>[‎ 以下给出两种思路求 g(a)＝ a ＋‎ ‎1－a 的最大值．‎ 思路 1：令 g(a)＝ a ＋‎ ‎1－a ，所以 g2(a)＝1＋2‎ ‎1‎ a 1－a ≤1＋(‎ a )2＋(‎ ‎1－a )2＝2.‎ 当且仅当 a ＝‎ ‎1－a ，即 a＝ 时等号成立．‎ ‎2‎ 所以[g(a)]max＝ 2，‎ 所以 b 的取值范围为(‎ ‎2，＋∞)．…………………………10 分 思路 2：令 g(a)＝ a ＋‎ ‎1－a ，因为 0≤a≤1，所以可设 a＝cos2θ(0≤θ≤π)，‎ ‎2‎ 则 g(a)＝ a ＋‎ ‎1－a ＝cosθ＋sinθ ‎4‎ ‎＝ 2sin(θ＋π)≤ 2，‎ π 当且仅当θ＝ 时等号成立，‎ ‎4‎ 所以 b 的取值范围为(‎ ‎2，＋∞)．…………………………10 分