2018-2019学年重庆市第八中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年重庆市第八中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A．2 B．1 C．0 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用微积分基本定理计算．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查微积分基本定理求定积分．解题时可求出原函数，再计算．‎ ‎2．用反证法证明命题“关于x的方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）‎ A．方程至多有一个实根 B．方程至少有两个实根 C．方程至多有两个实根 D．方程没有实根 ‎【答案】D ‎【解析】结论“至少有一个”的反面是“至多有0个”即“一个也没有”．‎ ‎【详解】‎ 假设是“关于x的方程没有实根”．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法．掌握命题的否定是解题关键．在有“至多”“至少”等词语时，其否定要注意．不能弄错．‎ ‎3．定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由导数与极大值之间的关系求解．‎ ‎【详解】‎ 函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与极值的关系．属于基础题．‎ ‎4．设a，b均为正实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】确定两个命题和的真假可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a，b均为正实数，若，则，命题为真；‎ 若，满足，但，故为假命题．‎ 因此“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断．解题时必须根据定义确定命题和 的真假．也可与集合包含关系联系．‎ ‎5．如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由独立事件同时发生的概率公式计算．把组成一个事整体，先计算它通路的概率．‎ ‎【详解】‎ 记通路为事件，则，‎ 所以灯泡亮的概率为．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立 事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．‎ ‎6．设直线与圆交于A，B两点，圆心为C，若为直角三角形，则（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．0或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】是等腰三角形，若为直角三角形，则，求出圆心到直线的距离，则．‎ ‎【详解】‎ 圆心为，半径为，，∵为直角三角形，∴，而，∴，即，或4.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系．在直线与圆相交问题中垂径定理常常要用到．‎ ‎7．“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）‎ A．72 B．108 C．144 D．196‎ ‎【答案】C ‎【解析】分步完成，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．‎ ‎【详解】‎ 按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分步计数原理．解题关键是确定完成这件事的方法．‎ ‎8．的展开式中，各项系数的和为32，则该展开式中x的系数为（ ）‎ A．10 B． C．5 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令得各项系数和，求得，再由二项式定理求得展开式中x的系数．‎ ‎【详解】‎ 令得，，‎ 二项式为，展开式通项为，令，，‎ 所以的系数为．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理，考查二项展开式中各项系数的和．掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中各项系数和的常用方法．‎ ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图还原出原几何体，然后计算其表面积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图知原几何体是一个圆锥里面挖去一个圆柱，尺寸见三视图．‎ 圆锥的母线长为，‎ ‎．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合体的表面积，解题关键是由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构．‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为3，则判断框中填入的条件可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件．‎ ‎【详解】‎ 程序运行中，变量值变化如下：‎ ‎，判断循环条件，满足，‎ ‎，判断循环条件，满足，‎ ‎……‎ ‎，，判断循环条件，满足，‎ ‎，，判断循环条件，这里应不满足，输出．‎ 故条件为．判断框中填入，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，根据输出结论确定循环条件．‎ ‎11．若直线是曲线的切线，则（ ）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设切点坐标，求导数，写出切线斜率，由切线过点，求出切点坐标，得切线斜率．‎ ‎【详解】‎ 直线过定点，‎ 设，切点为，，，‎ ‎∴切线方程为，又切点过点，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，在未知切点时，一般先设切点坐标，由导数得出切线方程，再结合已知条件求出切点坐标，得切线方程．‎ ‎12．在正方体中，E是棱的中点，点M，N分别是线段与线段上的动点，当点M，N之间的距离最小时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D ‎【答案】A ‎【解析】以A为坐标原点，以，，为x，y，z轴正向建系，设，，,,,设，得，求出取最小值时值，然后求的夹角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 以A为坐标原点，以，，为x，y，z轴正向建系，设，，,,,设，由得，‎ 则，‎ 当即，时，取最小值.此时，，令．‎ 得．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得的取最小值时的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．‎ 二、填空题 ‎13．复数满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴．‎ ‎14．甲、乙设备生产某产品共500件，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测.若样本中有12件产品由甲设备生产，则由乙设备生产的产品总数为_______件.‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】分层抽样中，样本容量与总体容量是成比例的．由此计算．‎ ‎【详解】‎ 设乙设备生产的产品总数为件，则，解得．‎ 故答案为：300.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样，属于基础题．‎ ‎15．已知双曲线的离心率为，一条渐近线为，抛物线 的焦点为F，点P为直线与抛物线异于原点的交点，则_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由双曲线的离心率求出渐近线的方程，然后求出直线与抛物线的交点的坐标，可得．‎ ‎【详解】‎ 双曲线中，，即，，不妨设方程为，‎ 由得或，即，抛物线中，‎ ‎∴．‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线的焦半径公式．属于中档题．‎ ‎16．重庆市新课程改革要求化学、生物、政治、地理这四门学科为高考选考科目.现在甲、乙、丙三位同学分别从这四门学科中任选两科作为选考科目，则四门学科都有人选的概率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】选科门数分三种：第一种只选二门，第二种选3门，第三种是四门都选．可以通过计算前两种的选法或概率得出第三种的选法或概率 ‎【详解】‎ 每人任选两门有种，只有两门学科有人选共有种，有三门学科有人选共有种，（注：减是减去只有两门被选中的情形），所以 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，考查排列组合的应用，解题关键是求出满足要求的选科数方法数．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，M为不等式的解集.‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）证明：当，.‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】（1）用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式．‎ ‎（2）用分析法证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 时，，无解，同样时，，无解，只有时，满足不等式，∴； ‎ ‎（2）要证，只需证，‎ 即证，即证，‎ 因为，所以，则，‎ 原不等式成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式．解含绝对值的不等式，一般都是按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再求解．‎ ‎18．已知曲线，直线（t为参数）.‎ ‎（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（2）过曲线C上任意一点作与直线夹角为30°的直线，交于点A，求的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）（为参数），；（2）最小值为，最大值为.‎ ‎【解析】（1）令，进而可求出曲线的参数方程；消去参数 ‎，整理即可. ‎ ‎（2）根据题意可知是点P到直线的距离的两倍，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线（为参数），直线 .‎ ‎（2）易知是点P到直线的距离的两倍，所以：，‎ 最小值为，最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程与普通方程的相互转化、点到直线的距离公式、辅助角公式以三角函数的最值，属于基础题.‎ ‎19．直三棱柱中，，，，F为棱的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点M在线段上运动，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）在矩形中由平面几何知识证明，再证，然后由线面垂直证明线线垂直．‎ ‎（2）当三棱锥的体积最大时点M与F重合，如图建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，由直三棱柱和，易得面，面，‎ 所以，‎ 又，，，则，又，‎ ‎∴，，∴，∴，‎ 又，所以面，所以 ‎ ‎（2）当三棱锥的体积最大时点M与F重合，如图建立空间直角坐标系，用向量法求二面角．‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，易知，‎ ‎，，设，则 ‎，解得取，则 记二面角的大小为，则，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用线面垂直证明线线垂直，用空间向量法求二面角．属于常规题．‎ ‎20．2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：，得到如下直方图：‎ ‎（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；‎ ‎（2）若在调查的且年龄在段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率.‎ ‎【答案】（1）32.5 （2）‎ ‎【解析】（1）中位数是直方图中把频率等分的那一点对应的数据．‎ ‎（2）由直方图得年龄在和的乘客人数频率都为0.05，可得人数，计算抽取方法总数和来自同一年龄段的方法数后可计算概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由直方图可知：中位数在区间内，设中位为x.‎ 由题可得：，‎ 所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5 ‎ ‎（2）年龄在和的乘客人数相等，频率为．人数为人 则在调查的且年龄在段乘客中随机抽取两人求两人均来自同一年龄段的概率为：‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，考查中位数，考查古典概型．掌握频率分布直方图的知识是解题基础．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）设是的极值点，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）在上减，上增；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）求出函数的定义域以及导函数，由是的极值点可求出，即 ‎，对导函数再次求导，判断导函数在上单调递增，由，进而可求出函数的单调区间. ‎ ‎（2）由，进而可得，记，研究函数 的单调性，求出的最小值，进而可得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：的定义域为，，‎ 由，‎ 所以，又因为，‎ 所以在上单调递增，注意到，‎ 所以在上减，上增.‎ ‎（2）由，所以,‎ 记，，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增 ，‎ 所以是的最小值点，，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.‎ ‎22．已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；‎ ‎（1）当时，求的面积；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】（1）由椭圆对称性确定直线斜率为1，斜率为-1，求出点坐标后可得三角形面积；‎ ‎（2）由直线方程为求得点坐标（横坐标即可），得，同理得（直线斜率为），利用得的方程，利用函数的知识（导数）证明此方程的解在区间上．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由椭圆对称性知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，‎ 由题意，，方程为，于是可以设点其中，于是，解得，‎ 所以. ‎ ‎（2）据题意，直线，联立椭圆E，得：，‎ 即：，则，那么， ‎ 同理，知：， ‎ 由，得：，即：. ‎ 令，则， ‎ 所以单调增，又，，‎ 故存在唯一零点，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆相交中的三角形面积，考查求直线方程．解题方法是求出直线与椭圆的交点坐标，得出弦长，由弦长关系得关系式．本题考查了运算求解能力．‎