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  • 2021-07-01 发布

吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题

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吉林省实验中学2019-2020学年度下学期高二年级 期中考试数学(理科)试卷 ‎ ‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎(1)已知为虚数单位,设复数满足,则=‎ ‎(A)3 (B)4 (C) (D)10‎ ‎(2)若点M的直角坐标是,则点M的极坐标为 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(3)设(是虚数单位),则 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)阅读右面的程序框图,则输出的S= ‎ ‎(A)14 (B)20 ‎ ‎(C)30 (D)55‎ ‎(5)用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是 ‎ ‎(A)3 (B)17 (C)51 (D)103 ‎ ‎(6)用秦九韶算法计算多项式在时的 值时,的值为 ‎ ‎(A)-845 (B)220 (C)-57 (D)34‎ ‎(7)若,则的最小值为 ‎(A) (B) (C)1 (D)‎ ‎(8)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是 ‎ ‎(A)假设三内角都不大于60° (B)假设三内角都大于60°‎ ‎(C)假设三内角至多有一个大于60° (D)假设三内角至多有两个大于60°‎ ‎(9)极坐标方程表示的图形是 ‎(A)两条直线         (B)两个圆 ‎(C)一条直线和一条射线 (D)一个圆和一条射线 ‎(10)已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎(11)已知,,则的最小值是 ‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)1 ‎ ‎(12)直线与椭圆相交于A,B两点,该椭圆上点P使得△PAB的 ‎ 面积等于4,这样的点P共有 ‎ ‎(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在答题纸上)‎ ‎(13)复数的实部是 .‎ ‎(14)已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,那么曲线的直角坐标方程为 .‎ ‎(15)参数方程(t为参数)的普通方程为 . ‎ ‎(16)已知点在曲线(为参数)上,则的取值范围是 .‎ 三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎(17)(本小题满分10分)‎ 实数分别取什么值时,复数是:‎ ‎(Ⅰ)实数; (Ⅱ)虚数; (Ⅲ)纯虚数.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 解不等式:。‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 用数学归纳法证明: .‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知曲线的极坐标方程为,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)若曲线(t为参数)与曲线相交于两点,求;‎ ‎(Ⅱ)若是曲线上的动点,且点的直角坐标为,求的最大值.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若不等式的解集为,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若不等式,对任意的实数恒成立,求实数的最小值.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若,求证:.‎ 吉林省实验中学2019-2020学年度下学期 高二年级数学(理科)期中考试参考答案 一、 选择题:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A C C C D B D B ‎ A B 二、填空题 ‎(13)-1 (14) (15) (16)‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ 实部,虚部.‎ ‎(Ⅰ)当 时,是实数;‎ ‎(Ⅱ)当,且时,是虚数;‎ ‎(Ⅲ) 当 或 时是纯虚数.‎ ‎18.解:‎ ‎(Ⅰ)当时,,∴原式恒成立。‎ ‎(Ⅱ)当时,,原式化为原式化为,即。‎ ‎(Ⅲ)当时,,原式无解。 ‎ ‎ 综上,不等式的解集为 ‎19.证明:‎ ‎(1)当时,左边,右边,等式成立。‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,‎ 那么,‎ 即当时等式也成立,根据(1)(2),可知等式对任何都成立。‎ ‎20.解:‎ ‎(Ⅰ)化为直角坐标方程为,‎ ‎(t为参数)化为普通方程为,‎ ‎∴弦长。‎ ‎(Ⅱ)在曲线上,设(为参数),‎ 则,其中,所以的最大值为。‎ ‎21. 解:‎ ‎(Ⅰ)由题意,知不等式解集为 由,得,所以,由,解得.‎ ‎(Ⅱ)不等式等价于,‎ 由题意知.‎ 因为,‎ 所以,即对任意都成立,则.‎ 而,当且仅当,即时等号成立,‎ 故,所以实数的最小值为4.‎ 而,当且仅当,即时等号成立,‎ 故,所以实数的最小值为4.‎ ‎22.证明:‎ ‎(Ⅰ)∵,‎ ‎∴。‎ ‎(Ⅱ), ‎ ‎∵,∴,即, ‎ 同理,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎,≤≤5‎ ‎∴。‎