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- 2021-07-01 发布
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吉林省实验中学2019-2020学年度下学期高二年级
期中考试数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分)
(1)已知为虚数单位,设复数满足,则=
(A)3 (B)4 (C) (D)10
(2)若点M的直角坐标是,则点M的极坐标为
(A) (B)
(C) (D)
(3)设(是虚数单位),则
(A) (B)
(C) (D)
(4)阅读右面的程序框图,则输出的S=
(A)14 (B)20
(C)30 (D)55
(5)用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是
(A)3 (B)17 (C)51 (D)103
(6)用秦九韶算法计算多项式在时的
值时,的值为
(A)-845 (B)220 (C)-57 (D)34
(7)若,则的最小值为
(A) (B) (C)1 (D)
(8)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是
(A)假设三内角都不大于60° (B)假设三内角都大于60°
(C)假设三内角至多有一个大于60° (D)假设三内角至多有两个大于60°
(9)极坐标方程表示的图形是
(A)两条直线 (B)两个圆
(C)一条直线和一条射线 (D)一个圆和一条射线
(10)已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(11)已知,,则的最小值是
(A) (B) (C)2 (D)1
(12)直线与椭圆相交于A,B两点,该椭圆上点P使得△PAB的
面积等于4,这样的点P共有
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在答题纸上)
(13)复数的实部是 .
(14)已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,那么曲线的直角坐标方程为 .
(15)参数方程(t为参数)的普通方程为 .
(16)已知点在曲线(为参数)上,则的取值范围是 .
三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(17)(本小题满分10分)
实数分别取什么值时,复数是:
(Ⅰ)实数; (Ⅱ)虚数; (Ⅲ)纯虚数.
(18)(本小题满分12分)
解不等式:。
(19)(本小题满分12分)
用数学归纳法证明: .
(20)(本小题满分12分)
已知曲线的极坐标方程为,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)若曲线(t为参数)与曲线相交于两点,求;
(Ⅱ)若是曲线上的动点,且点的直角坐标为,求的最大值.
(21)(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)若不等式的解集为,求实数的值;
(Ⅱ)若不等式,对任意的实数恒成立,求实数的最小值.
(22)(本小题满分12分)
已知,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求证:.
吉林省实验中学2019-2020学年度下学期
高二年级数学(理科)期中考试参考答案
一、 选择题:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
A
C
C
C
D
B
D
B
A
B
二、填空题
(13)-1 (14) (15) (16)
三、解答题
17.解:
实部,虚部.
(Ⅰ)当 时,是实数;
(Ⅱ)当,且时,是虚数;
(Ⅲ) 当 或 时是纯虚数.
18.解:
(Ⅰ)当时,,∴原式恒成立。
(Ⅱ)当时,,原式化为原式化为,即。
(Ⅲ)当时,,原式无解。
综上,不等式的解集为
19.证明:
(1)当时,左边,右边,等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,
那么,
即当时等式也成立,根据(1)(2),可知等式对任何都成立。
20.解:
(Ⅰ)化为直角坐标方程为,
(t为参数)化为普通方程为,
∴弦长。
(Ⅱ)在曲线上,设(为参数),
则,其中,所以的最大值为。
21. 解:
(Ⅰ)由题意,知不等式解集为
由,得,所以,由,解得.
(Ⅱ)不等式等价于,
由题意知.
因为,
所以,即对任意都成立,则.
而,当且仅当,即时等号成立,
故,所以实数的最小值为4.
而,当且仅当,即时等号成立,
故,所以实数的最小值为4.
22.证明:
(Ⅰ)∵,
∴。
(Ⅱ),
∵,∴,即,
同理,∴,
∵,∴,
,≤≤5
∴。