数学卷·2018届河北省衡水市枣强中学高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版） 22页

‎2016-2017学年河北省衡水市枣强中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0‎ C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞0‎ ‎2．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．一元二次不等式x2+ax+1＞0的解集为R的必要不充分条件是（　　）‎ A．﹣2≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜0‎ ‎4．2010年两会记者招待会上，主持人要从5名中国记者与4名外主国记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式的种数是（　　）‎ A．80 B．180 C．240 D．260‎ ‎5．展开式中的第四项是（　　）‎ A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4‎ ‎6．公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少（　　）‎ A．2人 B．4人 C．5人 D．1人 ‎7．如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（　　）‎ A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34‎ ‎8．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且=4，则点M的轨迹方程是（　　）‎ A．x2+16y2=64 B．16x2+y2=64 C．x2+16y2=8 D．16x2+y2=8‎ ‎9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（　　）‎ A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 ‎11．设ξ是离散随机变量，，，且a＜b．又，，则a+b的值等于（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎12．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为　　．‎ ‎14．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种　　种．（结果用数值表示）‎ ‎15．给定下列命题：‎ ‎①“若m＞0，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；‎ ‎②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．‎ ‎③“矩形的对角线相等”的逆命题；‎ ‎④全称命题“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+3≤0”‎ 其中真命题的序号是　　．‎ ‎16．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（1，2），若p∨q是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四场者获胜）．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2：0暂时领先．‎ ‎（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；‎ ‎（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．‎ ‎19．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|=2|MF2|，试求△MF1F2的面积．‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎21．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如表：‎ 所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他情况 所获得的积分 ‎180‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；‎ ‎（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）；‎ ‎（Ⅲ）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率，焦距为2‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2+y2=1内，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市枣强中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0‎ C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”．‎ 所以全称命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是特称命题“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”．‎ ‎【解答】解：命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：‎ ‎∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，‎ ‎∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，‎ ‎∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，‎ 所以P0O＜OF2，即b＜c，‎ ‎∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，‎ ‎∴e＞，‎ ‎∵0＜e＜1，‎ ‎∴＜e＜1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．一元二次不等式x2+ax+1＞0的解集为R的必要不充分条件是（　　）‎ A．﹣2≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜0‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】可得解集为R的充要条件为m2﹣4×1×1＜0，解之由集合的包含关系可得答案．‎ ‎【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+1＞0的解集为R，‎ ‎∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，‎ ‎∵一元二次不等式x2+ax+1＞0的解集为R的必要不充分条件，‎ ‎∴﹣2≤a≤2，‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．2010年两会记者招待会上，主持人要从5名中国记者与4名外主国记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式的种数是（　　）‎ A．80 B．180 C．240 D．260‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】若3人中有2名中国记者和1名国外记者，求出不同的提问方式的种数；若3人中有1名中国记者和2名国外记者，求出不同的提问方式的种数，相加即得所求．‎ ‎【解答】解：若3人中有2名中国记者和1名国外记者，则不同的提问方式的种数是=80，‎ 若3人中有1名中国记者和2名国外记者，则不同的提问方式的种数是=180，‎ 故所有的不同的提问方式的种数是80+180=260，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．展开式中的第四项是（　　）‎ A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的第四项．‎ ‎【解答】解：展开式中的第四项是T4=•x6•=84x3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少（　　）‎ A．2人 B．4人 C．5人 D．1人 ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】用30岁以上的员工的人数，乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．‎ ‎【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，‎ 故30岁以上的员工应抽取的人数为 14×=2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（　　）‎ A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，‎ 第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，‎ 以后所乘的数依次为3，5，9，17，‎ ‎2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，‎ 故判断框中应填k＜33，或者k≤22．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且=4，则点M的轨迹方程是（　　）‎ A．x2+16y2=64 B．16x2+y2=64 C．x2+16y2=8 D．16x2+y2=8‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设M（x，y），A（a，0），B（0，b），根据=4算出x=且y=，可得a=5x且b=，结合题意a2+b2=100，代入化简即可得到所求点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设M（x，y），A（a，0），B（0，b）‎ 则a2+b2=100，…①‎ ‎∵=4，∴x=，y=‎ 由此可得a=5x且b=，代入①式可得25x2+=100‎ 化简得16x2+y2=64，即为所求点M的轨迹方程 故选：B ‎　‎ ‎9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由AC∥A1C1，知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，‎ ‎∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），‎ ‎∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，‎ ‎∴AB=，，BC1==，A1C1=1，‎ ‎∴cos∠C1A1B===，‎ ‎∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（　　）‎ A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案．‎ ‎【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，‎ 而xn+1为世界首富的年收入 则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，‎ 故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，‎ 但中位数可能不变，也可能稍微变大，‎ 但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大 故选B ‎　‎ ‎11．设ξ是离散随机变量，，，且a＜b．又，，则a+b的值等于（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】由已知中p（ξ=a）+p（ξ=b）=1可得：随机变量ξ的值，只能取a，b两个值；结合，，构造关于a，b的方程组，解方程组可得答案．‎ ‎【解答】解：∵，， +=1，‎ 故随机变量ξ的值，只能取a，b两个值；‎ 又∵，，‎ ‎∴a+b=，‎ ‎（a﹣）2×+（b﹣）2×=‎ 解得：a=1，b=2‎ 故a+b=3‎ 故选C ‎　‎ ‎12．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】根据是a、m的等比中项可得c2‎ ‎=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2=m2+n2=c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．‎ ‎【解答】解：由题意：‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴a2=4c2，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】分别求出铜钱圆的面积和中间正方形的面积，利用面积比求油滴正好落入孔中的概率．‎ ‎【解答】解：铜钱圆的面积为π（cm2），‎ 中间正方形的面积为（cm2）．‎ ‎∴油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种　7　种．（结果用数值表示）‎ ‎【考点】分步乘法计数原理．‎ ‎【分析】本题关键在于2菜2素有无顺序．‎ ‎【解答】解：设素菜n种，则C52•Cn2≥200⇒n（n﹣1）≥40，所以n的最小值为7．‎ 故答案为：7‎ ‎　‎ ‎15．给定下列命题：‎ ‎①“若m＞0，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；‎ ‎②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．‎ ‎③“矩形的对角线相等”的逆命题；‎ ‎④全称命题“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+3≤0”‎ 其中真命题的序号是　①②④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】①只需求△，②由原命题和逆否命题同真假，可判断逆否命题的真假，③④按要求写出命题再进行判断．‎ ‎【解答】解：①△=4+4m＞0，所以原命题正确，根据其逆否命题与原命题互为逆否命题，真假相同 故其逆否命题是真命题，因此①正确；‎ ‎②x2﹣3x+2=0的两个实根是1或2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故②正确；‎ ‎③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．‎ ‎④：“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x∈R，有x2+x+3≤0”，是真命题；‎ 故答案为①②④．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|‎ ‎=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，得到关于b的不等式，求出b的范围．再利用离心率计算公式e=即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，‎ ‎∴≥，解得b≥1．‎ ‎∴e==≤=．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（1，2），若p∨q是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程及其性质，即可得出m的取值范围，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，‎ 即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；‎ 因为双曲线的离心率e∈（1，2），‎ 所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15．‎ p或q为真，则0＜m＜15．‎ ‎　‎ ‎18．中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四场者获胜）．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2：0暂时领先．‎ ‎（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；‎ ‎（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）甲队获胜包括甲队以4：2获胜和甲队以4：3获胜两种情况．分别求出这两种情况的概率，二者之和就是甲队获得这次比赛胜利的概率．‎ ‎（Ⅱ）随机变量X可能的取值为4，5，6，7．分别求出P（X=4），P（X=5），P（X=6），P（X=7），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设甲队获胜为事件A，‎ 则甲队获胜包括甲队以4：2获胜和甲队以4：3获胜两种情况．‎ 设甲队以4：2获胜为事件A1，‎ 则…‎ 设甲队以4：3获胜为事件A2，‎ 则…‎ ‎∴…‎ ‎（Ⅱ）随机变量X可能的取值为4，5，6，7．‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎（或者）‎ ‎∴X的概率分布为：‎ X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎…‎ ‎　‎ ‎19．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|=2|MF2|，试求△MF1F2的面积．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设双曲线方程为，由已知得，由此能求出双曲线的标准方程．‎ ‎（2）由点M在双曲线上，又|MF1|=2|MF2|，得|MF1|﹣|MF2|=2，从而|MF1|=4，|MF2|=2，又|F1F2|=2，由此能求出△MF1F2的面积．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆方程可化为=1，‎ 焦点在x轴上，且c==，…‎ 故设双曲线方程为，…‎ 则有，解得a2=3，b2=2，…‎ 所以双曲线的标准方程为﹣=1．…‎ ‎（2）因为点M在双曲线上，又|MF1|=2|MF2|，‎ 所以点M在双曲线的右支上，‎ 则有|MF1|﹣|MF2|=2，…‎ 故解得|MF1|=4，|MF2|=2，又|F1F2|=2，…‎ 因此在△MF1F2中，，…‎ 所以sin∠MF2F1=，…．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…‎ ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．‎ 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…‎ ‎=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），‎ 取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，‎ 即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），‎ 依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…‎ 于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…‎ ‎　‎ ‎21．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如表：‎ 所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他情况 所获得的积分 ‎180‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；‎ ‎（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）；‎ ‎（Ⅲ）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）所取三个球恰有两个是红球，包含两类基本事件，即父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球；父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红球，然后利用古典概型概率计算公式及互斥事件的加法公式求得答案；‎ ‎（Ⅱ）求出X的取值，再求出取各个值的概，列出分布列，再由期望公式求期望 ‎（Ⅲ）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数Y～‎ ‎，然后结合互斥事件的概率公式求得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设所取三个球恰有两个是红球为事件A，则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为；‎ 父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为．‎ 故；‎ ‎（Ⅱ）X可以取180，90，60，0，取各个值的概率分别为：，．‎ 所求分布列为：‎ X ‎180‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎0‎ P 随机变量X的期望；‎ ‎（Ⅲ）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数Y～，‎ 则，‎ 故所求概率为．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率，焦距为2‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2+y2=1内，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用离心率与焦距，求出a2=2，b2=1，即可得到椭圆的方程．‎ ‎（2）联立方程，消去y，利用判别式求出m的范围，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理求出MN中点坐标，通过MN的中点不在圆x2+y2内，得到不等式，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，2c=2，又a2﹣b2=c2，解得，c=1，∴a2=2，b2=1‎ 故椭圆的方程为…‎ ‎（2）联立方程，消去y可得3x2+4mx+2m2﹣2=0‎ 则…‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，‎ ‎∴MN中点坐标为…‎ 因为MN的中点不在圆x2+y2内，‎ 所以或…‎ 综上，可知或…‎ 注：用点差法酌情给分 ‎　‎