2014版高中数学人教版a版选修4-5教学课件：第一讲 一 2 基本不等式 32页

2 ．基本不等式 充要条件 充分不必要条件 a ＝ b 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明． 1 ．已知 a 、 b 、 c 是不全相等的正数，求证： a ( b 2 ＋ c 2 ) ＋ b ( c 2 ＋ a 2 ) ＋ c ( a 2 ＋ b 2 )>6 abc . 证明： ∵ b 2 ＋ c 2 ≥2 bc ， a ＞ 0 ， ∴ a ( b 2 ＋ c 2 )≥2 abc . ① 同理 b ( c 2 ＋ a 2 )≥2 abc ， ② c ( a 2 ＋ b 2 )≥2 abc . ③ 因为 a 、 b 、 c 不全相等，所以①②③式中至少有一个式子不能取 “ ＝ ” ． ∴ a ( b 2 ＋ c 2 ) ＋ b ( c 2 ＋ a 2 ) ＋ c ( a 2 ＋ b 2 )>6 abc . 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行： (1) 首先看式子能否出现和 ( 或积 ) 的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2) 其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取 ( － 1) 变为同正； (3) 利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决． 答案： C 4 ．已知 x >0 ， y >0 且 5 x ＋ 7 y ＝ 20 ，求 xy 的最大值． 5 ．若正数 a 、 b 满足 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ， (1) 求 ab 的取值范围； (2) 求 a ＋ b 的取值范围． [ 例 3] 　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3 － x 与 t ＋ 1 成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1 万件，已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需要投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1) 将 2012 年的利润 y ( 万元 ) 表示为促销费 t ( 万元 ) 的函数． (2) 该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ [ 思路点拨 ] 　 (1) 两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用； (2) 表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式． 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立 y 的函数表达式 y ＝ f ( x )( x 一般为题目中最后所要求的量 ) ；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量 x 的范围制约． 7. 围建一个面积为 360 m 2 的矩形场 地，要求矩形场地的一面利用 旧墙 ( 利用旧墙需维修 ) ，其他三 面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元 /m ，新墙的造价为 180 元 /m ，设利用的旧墙的长度为 x ( 单位：元 ) ． (1) 将 y 表示为 x 的函数； (2) 试确定 x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并 求出最小总费用．