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  • 2021-07-01 发布

数学文·山西省孝义市2017届高三上学期期末数学试卷(文科)+Word版含解析

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‎2016-2017学年山西省孝义市高三(上)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合,则A∪B=(  )‎ A.R B.[0,+∞) C.[0,1] D.(0,1)‎ ‎2.给定四组数据:甲:1,2,3,4,5;乙:1,3,5,7,9;丙:1,2,3;丁:1,3,5.其中方差最小的一组是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎3.设数列{an}的通项公式为an=3n,且a2,a4,ak成等比数列,则数列k的值为(  )‎ A.9 B.8 C.7 D.6‎ ‎4.已知函数f(x)=g(x)+x2,对于任意x∈R总有f(﹣x)+f(x)=0,且g(﹣1)=1,则g(1)=(  )‎ A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3‎ ‎5.若sinαsinβ=1,则cos(α+β)=(  )‎ A.1 B.﹣1 C.0 D.0或﹣1‎ ‎6.若实数x,y满足,则的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知椭圆的左、右焦点分别为,短轴端点B与两焦点F1,F2构成的三角形面积最大时,椭圆的短半轴长为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎8.已知AD为△ABC边BC的中线,且,则=(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )‎ A.3025 B.﹣3024 C.﹣3025 D.﹣6050‎ ‎10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(  )‎ A.72 B.76 C.80 D.88‎ ‎11.已知双曲线C:的左焦点关于C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则C的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎12.若点P(x0,y0)是曲线y=xex上任意一点,则|x0﹣y0﹣4|的最小值为(  )‎ A.4 B. C. D.2‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若复数z满足z2=i,则为|z|=  .‎ ‎14.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线 x+2y+2z+3=0的距离为  .‎ ‎15.某人打算制定一个长期储蓄计划,每年年初存款2万元,连续储蓄12年.由于资金原因,从第7年年初开始,变更为每年年初存款1万元.若存款利率为每年2%,且上一年年末的本息和共同作为下一年年初的本金,则第13年年初的本息和约为  万元(结果精确到0.1).(参考数据:1.026≈1.13,1.0212≈1.27)‎ ‎16.在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=AC=3,又,则该三棱锥外接球的表面积为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,且满足bsinA+bcosA=c.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若角A的平分线与BC相交于D点,AD=AC,BD=2求CD的长.‎ ‎18.某大学生从全校学生中随机选取100名统计他们的鞋码大小,得到如下数据:‎ 鞋码 ‎ ‎35 ‎ ‎ 36‎ ‎ 37‎ ‎ 38‎ ‎39 ‎ ‎ 40‎ ‎41 ‎ ‎42 ‎ ‎ 43‎ ‎ 44‎ ‎ 合计 男生 ‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 3‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 2‎ ‎ 55‎ ‎ 女生 ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ 12‎ ‎ 9‎ ‎ 9‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 1‎ ‎ 45‎ ‎(1)某鞋店计划采购某种款式的女鞋1000双,则其中38号鞋应有多少双?‎ ‎(2)完成频率分布直方图,并估计该校学生的平均鞋码.‎ ‎19.如图1,ABCD为长方形,AB=3,AD=,E,F分别是边AB,CD 上的点,且AE=CF=1,DE与AF相交于点G,将三角形ADF沿AF折起至ADF',使得D'E=1,如图2.‎ ‎(1)求证:平面D'EG⊥ABCF平面;‎ ‎(2)求三棱锥D'﹣BEG的体积.‎ ‎20.已知圆B:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,过原点O作两条不同的直线l1,l2与圆B分别交于P,Q.‎ ‎(1)过圆心B作BA⊥OP,BC⊥OQ,垂足分别为点A,C,求过四点O,A,B,C的圆E的方程,并判断圆B与圆E的位置关系;‎ ‎(2)若l1与l2的倾斜角互补,试用l1的倾斜角α表示△OPQ的面积,并求其最大值.‎ ‎21.已知函数f(x)=lnx﹣,a∈R,且f'(2)=.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:与曲线y=lnx(x>1)和y=ex都相切的直线有且只有一条.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:参数方程与极坐标系](共1小题,满分10分)‎ ‎22.在平面直角坐标系xoy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若C1与C2只有一个公共点,求实数m的值;‎ ‎(2)若θ=与C1交于点A(异于极点),θ=与C1交于点B(异于极点),与C2交于点C,若△ABC的面积为3,求实数m(m<0)的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](共1小题,满分0分)‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≤1;‎ ‎(2)对于任意x∈R都有a(x+3)≥f(x)成立,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山西省孝义市高三(上)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合,则A∪B=(  )‎ A.R B.[0,+∞) C.[0,1] D.(0,1)‎ ‎【考点】并集及其运算.‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B,由此利用并集定义能求出A∪B.‎ ‎【解答】解:∵集合={x|0<x≤1},‎ ‎∴A∪B={x|0≤x≤1}=[0,1].‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.给定四组数据:甲:1,2,3,4,5;乙:1,3,5,7,9;丙:1,2,3;丁:1,3,5.其中方差最小的一组是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】根据题意,由所给的四组数据,依次计算四组数据的方差,比较可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,依次计算四组数据的方差:‎ 对于甲:1,2,3,4,5;其平均数==3,则其方差S2==2;‎ 对于乙:1,3,5,7,9;其平均数==5,则其方差S2==8;‎ 对于丙:1,2,3;其平均数==2,则其方差S2==,‎ 对于丁:1,3,5.其平均数==3,则其方差S2==,‎ 比较可得:丙组方差最小;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.设数列{an}的通项公式为an=3n,且a2,a4,ak成等比数列,则数列k的值为(  )‎ A.9 B.8 C.7 D.6‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】根据数列{an}的通项公式写出a2,a4,ak,再根据等比中项的定义列出算式求出k的值.‎ ‎【解答】解:数列{an}的通项公式为an=3n,‎ 且a2,a4,ak成等比数列,‎ ‎∴=a2•ak,‎ 即122=6×3k,‎ 解得k=8.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.已知函数f(x)=g(x)+x2,对于任意x∈R总有f(﹣x)+f(x)=0,且g(﹣1)=1,则g(1)=(  )‎ A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法.‎ ‎【分析】利用f(﹣x)+f(x)=0可知f(x)是奇函数.函数f(x)=g(x)+x2,g(﹣1)=1,可求g(1)的值.‎ ‎【解答】解:由题意,f(﹣x)+f(x)=0可知f(x)是奇函数,‎ ‎∵f(x)=g(x)+x2,g(﹣1)=1,‎ 即f(﹣1)=1+1=2‎ 那么f(1)=﹣2.‎ 故得f(1)=g(1)+1=﹣2,‎ ‎∴g(1)=﹣3,‎ 故选D ‎ ‎ ‎5.若sinαsinβ=1,则cos(α+β)=(  )‎ A.1 B.﹣1 C.0 D.0或﹣1‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数.‎ ‎【分析】由sinαsinβ=1,得cosαcosβ=0,利用两角和的余弦函数公式可得答案.‎ ‎【解答】解:由sinαsinβ=1,得cosαcosβ=0,‎ ‎∴cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣1.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.若实数x,y满足,则的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解目标函数的期限分为即可.‎ ‎【解答】解:实数x,y满足,的可行域如图:‎ 则=,表示可行域内的点与P(1,0)连线的斜率的相反数,‎ 由题意可知:,可得A(1,1),‎ ‎,可得B(,),‎ 则≥=﹣.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.已知椭圆的左、右焦点分别为,短轴端点B与两焦点F1,F2构成的三角形面积最大时,椭圆的短半轴长为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】a2+b2=4,即2b2+c2=4,利用基本不等式的性质可得bc≤,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵a2+b2=4,∴2b2+c2=4≥2,化为:bc≤,当且仅当c=b=时取等号.‎ ‎∴==bc≤,此时取等号时,b=1,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知AD为△ABC边BC的中线,且,则=(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】可画出图形,对的两边平方即可求出,而对的两边平方,即可求出的值,从而求出的值.‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ 又;‎ ‎∴=;‎ ‎∴.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )‎ A.3025 B.﹣3024 C.﹣3025 D.﹣6050‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】根据已知中的程序框图可得,该程序的功能是计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.‎ ‎【解答】解:当n=1时,满足进行循环的条件,则S=﹣1,n=2; ‎ 当n=2时,满足进行循环的条件,则S=﹣1+4,n=3; ‎ 当n=3时,满足进行循环的条件,则S=﹣1+4﹣7,n=4; ‎ 当n=4时,满足进行循环的条件,则S=﹣1+4﹣7+10,n=5; ‎ ‎…‎ 当n=2016时,满足进行循环的条件,则S=﹣1+4﹣7+10﹣…﹣(3×2015﹣2)+(3×2016﹣2),n=2017; ‎ 当n=2017时,满足进行循环的条件,则S=﹣1+4﹣7+10﹣…﹣(3×2015﹣2)+(3×2016﹣2)﹣(3×2017﹣2),n=2018; ‎ 当n=2018时,不满足进行循环的条件,‎ 故输出的S=﹣1+4﹣7+10﹣…﹣(3×2015﹣2)+(3×2016﹣2)﹣(3×2017﹣2)=3×1008﹣3×2017+2=﹣3025,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(  )‎ A.72 B.76 C.80 D.88‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图可得直观图为组合体,下边为棱长为4的正方体,体积为64,上边是底面为正方形,高为3的四棱锥,体积为=16,健康求出此几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由三视图可得直观图为组合体,下边为棱长为4的正方体,体积为64,‎ 上边是底面为正方形,高为3的四棱锥,体积为=16,‎ ‎∴此几何体的体积为64+16=80,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知双曲线C:的左焦点关于C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则C的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】设双曲线的左焦点为F(﹣c,0),求出渐近线方程,设F关于y=x的对称点为(m,﹣m),由中点坐标公式和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,解方程可得2m=c,代入可得a,b的关系,再由离心率公式,计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:双曲线C:的左焦点为F(﹣c,0),‎ 渐近线方程为y=±x,‎ 设F关于y=x的对称点为(m,﹣m),‎ 由题意可得=﹣,(*)‎ 且(0﹣m)=•(m﹣c),‎ 可得m=c,代入(*)可得b2=3a2,‎ c2=a2+b2=4a2,‎ 则离心率e==2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.若点P(x0,y0)是曲线y=xex上任意一点,则|x0﹣y0﹣4|的最小值为(  )‎ A.4 B. C. D.2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】由题可得所求最小值为曲线上P到直线x﹣y﹣4=0的距离的 倍.求出函数的导数,由切线斜率为1,构造函数f(x)=ex﹣,求出导数,判断单调性,解方程可得切点,进而运用两平行直线的距离公式可得最小值.‎ ‎【解答】解:|x0﹣y0﹣4|=•,‎ 表示曲线上P到直线x﹣y﹣4=0的距离的倍.‎ 设与直线x﹣y﹣4=0平行的直线x﹣y﹣t=0,与曲线相切,‎ 由y=xex的导数为y′=(x+1)ex,‎ 由切线的斜率为1,可得(x+1)ex=1,‎ 可令f(x)=ex﹣,其导数为f′(x)=ex+>0,‎ 可得f(x)在(﹣1,+∞)递增,‎ 由f(0)=e0﹣1=0,‎ 可得(x+1)ex=1的根为x=0,‎ 即有切点为(0,0),‎ 可得t=0,‎ 由平行直线的距离公式可得两平行线的距离为,‎ 则则|x0﹣y0﹣4|的最小值为4.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若复数z满足z2=i,则为|z|= 1 .‎ ‎【考点】复数求模.‎ ‎【分析】根据复数模的定义,直接求模即可得答案.‎ ‎【解答】解:∵z2=i,‎ ‎∴|z|2=1.‎ ‎∴z的模为|z|=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎14.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为 ‎,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为 5 .‎ ‎【考点】类比推理.‎ ‎【分析】类比点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为,可知在空间中,d==5.‎ ‎【解答】解:类比点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为,‎ 可知在空间中,‎ 点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离d==5.‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎15.某人打算制定一个长期储蓄计划,每年年初存款2万元,连续储蓄12年.由于资金原因,从第7年年初开始,变更为每年年初存款1万元.若存款利率为每年2%,且上一年年末的本息和共同作为下一年年初的本金,则第13年年初的本息和约为 20.9 万元(结果精确到0.1).(参考数据:1.026≈1.13,1.0212≈1.27)‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】确定每年的本息和,利用等比数列的求和公式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由题意,第13年年初的本息和为2(1.0212+1.0211+…+1.027)+(1.026+1.025+…+1.02)‎ ‎=2×+≈20.9.‎ 故答案为20.9.‎ ‎ ‎ ‎16.在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=AC=3,又,则该三棱锥外接球的表面积为 49π .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;球的体积和表面积.‎ ‎【分析】由余弦定理求出BC,可得△ABC外接圆的半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积.‎ ‎【解答】解:∵AB=AC=3,,‎ ‎∴由余弦定理可得BC==,‎ ‎∵sin∠BAC=,‎ ‎∴△ABC外接圆的半径为r=,‎ 设球心到平面ABC的距离为d,则由勾股定理可得R2=12+()2=,‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=49π.‎ 故答案为:49π.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,且满足bsinA+bcosA=c.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若角A的平分线与BC相交于D点,AD=AC,BD=2求CD的长.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子,求出tanB的值,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B;‎ ‎(2)由AD=AC得∠ACD=∠ADC,设∠DAC=∠BAD=α,∠ACD=∠ADC=β,由内角和定理列出方程组求出α、β,由正弦定理求出AB、AD、AC,由余弦定理列出式子化简后求出CD的值.‎ ‎【解答】解:(1)由bsinA+bcosA=c以及正弦定理得,‎ sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin(A+B),‎ 化简得,sinBsinA﹣sinAcosB=0,‎ 又sinA≠0,则sinB=cosB,即tanB=1,‎ 因为0<B<180°,所以B=45°;‎ ‎(2)由AD=AC得,∠ACD=∠ADC,‎ 设∠DAC=∠BAD=α,∠ACD=∠ADC=β,‎ 则,解得,‎ 在△ABD中,∠BAD=30°,∠ADB=105°‎ 由正弦定理得,,‎ 则,‎ 所以AB=,AD=,则AC=,‎ 由余弦定理得,CD2=AD2+AC2﹣2•AD•AC•cos∠DAC ‎=8+8﹣2×××=,‎ 所以CD=.‎ ‎ ‎ ‎18.某大学生从全校学生中随机选取100名统计他们的鞋码大小,得到如下数据:‎ 鞋码 ‎ ‎35 ‎ ‎ 36‎ ‎ 37‎ ‎ 38‎ ‎39 ‎ ‎ 40‎ ‎41 ‎ ‎42 ‎ ‎ 43‎ ‎ 44‎ ‎ 合计 男生 ‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 3‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 2‎ ‎ 55‎ ‎ 女生 ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ 12‎ ‎ 9‎ ‎ 9‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 1‎ ‎ 45‎ ‎(1)某鞋店计划采购某种款式的女鞋1000双,则其中38号鞋应有多少双?‎ ‎(2)完成频率分布直方图,并估计该校学生的平均鞋码.‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】(1)设所求女鞋的数量为x,利用比例关系求出x的值即可;‎ ‎(2)根据表中数据画出频率分布直方图,计算这组数据的平均数.‎ ‎【解答】解:(1)设所求女鞋数量为x,‎ 则=,‎ 解得x=200;‎ 即1000双女鞋中,38号鞋应有200双;…6分 ‎(2)根据表中数据画出频率分布直方图,如下 由频率分布直方图,估计该校学生的平均鞋码为 ‎35.5×0.1+37.5×0.3+39.5×0.3+41.5×0.2+43.5×0.1=39.3…12分.‎ ‎ ‎ ‎19.如图1,ABCD为长方形,AB=3,AD=,E,F分别是边AB,CD上的点,且AE=CF=1,DE与AF相交于点G,将三角形ADF沿AF折起至ADF',使得D'E=1,如图2.‎ ‎(1)求证:平面D'EG⊥ABCF平面;‎ ‎(2)求三棱锥D'﹣BEG的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)在矩形中由已知可得,△ADF∽△EAD,则∠DAF=∠AED,得到AF⊥DE,在图2中可得AF⊥D′G,AF⊥GE,再由线面垂直的判定可得AF⊥平面D′GE,进一步得到平面D'EG⊥ABCF平面;‎ ‎(2)由(1)可得D′E⊥平面ABCF,把三棱锥D'﹣BEG的体积转化为2倍D'﹣AEG的体积求解.‎ ‎【解答】(1)证明:在图1的直角三角形ADF和直角三角形EAD中,‎ ‎∵=,∴△ADF∽△EAD,则∠DAF=∠AED,‎ ‎∵∠DAF+∠EAF=90°,∴∠AED+∠EAF=90°,则AF⊥DE;‎ 在图2中,∴AF⊥D′G,AF⊥GE,‎ ‎∵D′G∩GE=G,∴AF⊥平面D′GE,‎ ‎∵AF⊂平面ABCF,∴平面D'EG⊥ABCF平面;‎ ‎(2)解:∵,AE=1,D′E=1,‎ ‎∴D′E⊥AE,‎ 由(1)可知,AF⊥平面D′EG,∴AF⊥D′E,‎ ‎∵AE∩AF=A,∴D′E⊥平面ABCF,‎ 又EG=ED=,∴AG=.‎ ‎∴,‎ ‎∴VD′﹣BEG=2VD′﹣AEG=.‎ ‎ ‎ ‎20.已知圆B:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,过原点O作两条不同的直线l1,l2与圆B分别交于P,Q.‎ ‎(1)过圆心B作BA⊥OP,BC⊥OQ,垂足分别为点A,C,求过四点O,A,B,C的圆E的方程,并判断圆B与圆E的位置关系;‎ ‎(2)若l1与l2的倾斜角互补,试用l1的倾斜角α表示△OPQ的面积,并求其最大值.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)求出圆心坐标与半径,可得圆E的方程,即可得出结论;‎ ‎(2)求出直线与圆相交的弦长,可得面积,利用三角函数知识得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)过四点O,A,B,C的圆E的方程是以OB为直径的圆,圆E 的圆心为(,),半径为,‎ ‎∴圆E的方程为:(x﹣)2+(y﹣)2=.‎ ‎∵圆心距===,‎ ‎∴圆B与圆E相内切;‎ ‎(2)设l1的方程为y=xtanα,圆心B(1,1)到直线l1的距离d=,‎ 直线l1与圆相交的弦长m=,‎ 以﹣tanα代替tanα,可得直线l2与圆相交的弦长n=2,‎ ‎∴S△OPQ==2|||sin2α|=|sin4α|≤1,‎ 当且仅当α=,,,时等号成立,故最大值为1.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=lnx﹣,a∈R,且f'(2)=.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:与曲线y=lnx(x>1)和y=ex都相切的直线有且只有一条.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,从而求出函数的单调区间即可;‎ ‎(2)设直线l和曲线y=lnx,(x>1),y=ex都相切,切点是(x1,y1),(x2,y2),得到lnx1=,(x1>1)有唯一解,从而证出结论.‎ ‎【解答】解:(1)f′(x)=+,由f′(2)=,解得:a=1,‎ f′(x)=+=,‎ ‎∵x>0且x≠1,∴f′(x)>0,‎ ‎∴函数f(x)的递增区间是(0,1)和(1,+∞);‎ ‎(2)证明:设直线l和曲线y=lnx,(x>1),‎ y=ex都相切,切点是(x1,y1),(x2,y2),‎ ‎∵y′=,∴y′=,‎ ‎∴曲线y=lnx在x=x1处的曲线方程是y﹣lnx1=(x﹣x1),‎ 即y=x+lnx1﹣1,①,‎ ‎∵y′=,∴=,∴x2=﹣lnx1,‎ ‎∴直线l也是y﹣=(x+lnx1),‎ 即y=x++②,‎ 由①②得lnx1﹣1=+,‎ ‎∴lnx1=,x1>1‎ 由(1)得,f(x)=lnx﹣在(1,+∞)递增,‎ 又f(e)=lne﹣=﹣<0,f(e2)=>0,‎ 根据零点存在定理得方程f(x)=0必在区间(e,e2)上有唯一的根,‎ 即方程lnx1=,x1>1有唯一的解.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:参数方程与极坐标系](共1小题,满分10分)‎ ‎22.在平面直角坐标系xoy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若C1与C2只有一个公共点,求实数m的值;‎ ‎(2)若θ=与C1交于点A(异于极点),θ=与C1交于点B(异于极点),与C2交于点C,若△ABC的面积为3,求实数m(m<0)的值.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(1)将两个方程都化为普通方程,C1与C2只有一个公共点,直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即可求实数m的值;‎ ‎(2)求|OA|,|OB|,|OC|,利用△ABC的面积为3,即可求实数m(m<0)的值.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,即x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4;‎ 曲线C2的参数方程为(t为参数),消去t可得y=(x﹣m).‎ ‎∵C1与C2只有一个公共点,‎ ‎∴直线与圆相切,‎ ‎∴=2,∴m=2±;‎ ‎(2)θ=与C1交于点A(异于极点),|OA|=2,θ=与C1交于点B(异于极点),|OB|=2,‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=,θ=,|OC|=m,‎ ‎∴S△ABC=(2﹣m)=3,∴m=﹣2.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](共1小题,满分0分)‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≤1;‎ ‎(2)对于任意x∈R都有a(x+3)≥f(x)成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(1)利用绝对值的意义,分类讨论解不等式f(x)≤1;‎ ‎(2)对于任意x∈R都有a(x+3)≥f(x)成立,数形结合求实数a 的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)x≤﹣2时,x﹣4≤1,得x≤5,∴x≤﹣2;‎ ‎﹣2<x<1时,3x≤1,得x≤,∴﹣2<x≤;‎ x≥1时,﹣x+4≤1,得x≥3,∴x≥3,‎ 综上所述,不等式的解集是{x|x或x≥3};‎ ‎(2)函数f(x)的图象如图所示,‎ ‎∵y=a(x+3)过(﹣3,0),且在函数y=f(x)的图象的上方,过(﹣3,0),(1,3)的斜率为,‎ ‎∴≤a≤1.‎ ‎ ‎ ‎2017年3月1日