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- 2021-07-01 发布
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康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试
高二数学(文)试题
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知为虚数单位,复数,则复数的虚部为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,
所以复数的虚部为.选B.
2. 某国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错的,是因为
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误
【答案】C
【解析】试题分析:本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的,在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,分析的其大前提,以及小前提,不难得到结论.
解:∵大前提的形式:“鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身正确,小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但是不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比.
∴不符合三段论推理形式,
∴推理形式错误,
故选:C.
点评:本题考查演绎推理,主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论.
3. 两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是
A. 48,49 B. 62,63 C. 75,76 D. 84,85
【答案】D
【解析】由已知图形中座位的排列顺序,
可得:被5除余1的数,和能被5整除的座位号临窗,
由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,
分析答案中的4组座位号,
只有D符合条件.
故选D
4. 用反证法证明某命题时,对结论“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为
A. 中至少有两个偶数或都是奇数 B. 都是奇数
C. 中至少有两个偶数 D. 都是偶数
【答案】A
【解析】用反证法法证明数学命题时,应先假设要证的命题的反面成立,即要证的命题的否定成立,而命题:“自然数 中恰有一个偶数”的否定为:“” 中“ 个、 个、 个偶数”即中至少有两个偶数或都是奇数,故选C.
5. 已知的取值如下表:
与线性相关,且线性回归直线方程为,则=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,
∴样本中心为.
又回归直线过点,
∴,
解得.选B.
6. 如图是选修1-2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分),如果要加入知识点“分析法”,则应该放在图
A. “①”处 B. “②”处 C. “③”处 D. “④”处
【答案】C
【解析】试题分析:首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解,从头到尾抓住主要脉络进行分解.然后将每一部分进行归纳与提炼,形成一个个知识点并逐一写在矩形框内,最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连,分析法是直接证明的一种方法,从而可得结论.
解:分析法是直接证明的一种方法
故“分析法”,则应该放在“直接证明”的下位.
故选C.
点评:本题主要考查了结构图,解题关键是弄清分析法属于直接证明,属于基础题.
7. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
经计算的观测值. 参照附表,得到的正确结论是
附表:
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【解析】由列联表中的数据可得,
故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.选A.
8. 下列参数方程中与方程表示同一曲线的是
A. (为参数) B. (为参数)
C. (为参数) D. (为参数)
【答案】D
【解析】选项A中,消去方程 (为参数)中的参数可得,不合题意.
选项B中,消去方程 (为参数)中的参数可得,但,故与方程不表示同一曲线,不合题意.
选项C中,消去方程 (为参数)中的参数可得,但,故与方程不表示同一曲线,不合题意.
选项D中,由于,故消去参数后得,且,故与方程表示同一曲线,符合题意.
综上选D.
9. 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集)
①“若,则”
类比推出“若, 则”;
②“若,则”
类比推出“若,则”;
③“若,则复数”
类比推出“若,则”;
④“若,则”
类比推出“若是非零向量,则”.
其中类比结论正确的个数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于①,由复数知识可得类比正确.
对于②,由于当两个复数不都为实数时,不能比较大小,故类比不正确,即②不正确.
对于③,由可得,从而可得,所以类比正确,即③正确.
对于④,由于表示与向量共线的向量,而表示与共线的向量,所以不一定正确,即类比不成立.
综上可得①③正确.选B.
10. 已知,,若复数满足,则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵,
∴,
∴,
∴,解得.
∴,
∴复数表示的点在以为圆心,半径为的圆上,
∴的最大值为.选C.
点睛:
(1)在复数中,只要把与向量对应起来,就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义,并根据这些几何意义解决问题.
(2)解题中注意的几何意义是点z对应的点在以为圆心,半径为的圆上,故的最大值,即复数z对应的点到原点的距离是圆心到原点的距离加上半径.
11. 分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设,且,求证:”“索”的“因”应是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:因,即,故应选C.
考点:分析法及推证格式.
12. 已知函数, ,若对,,使成立,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得“对,,使成立”等价于“”.
∵,当且仅当时等号成立.
∴.
在中,由,解得.
令,
则
,(其中).
∴.
由,解得,
又,故,
∴实数的取值范围是.选A.
点睛:
(1)对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如的函数只有最小值,形如的函数既有最大值又有最小值.
(2)求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法,对于含有绝对值符号的函数求最值时,一般采用换元的方法进行,将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解.
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上.)
13. 已知为虚数单位,复数在复平面内对应的点关于原点对称,且,则__________.
【答案】
【解析】由题意得复数对应的点为(2,-3),它关于原点的对称点为(-2,3),故
,所以.
答案:
14. 若,则在①,
②,③,
④,⑤这五个不等式中,
恒成立的不等式的序号是____________.
【答案】②④
【解析】对于①,由于同向不等式不能相减,(或举反例),故①不正确.
对于②,根据同向不等式可以相加,故②正确.
对于③,由于不等式不一定都为正不等式,不能两边相乘,故③不正确.
对于④,由得,根据同向不等式的可加性知成立,即④正确.
对于⑤,由于的符号不确定,故不等式不一定成立,即⑤不正确.
综上可得② ④正确.
答案:② ④
15. 定义某种运算,运算原理如流程图所示,则式子的值为______.
【答案】12
【解析】由题意得,
∴,
∴.
答案:
16. 已知曲线的参数方程是 (为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.若点的极坐标分别为和,直线与曲线相交于两点,射线与曲线相交于点,射线与曲线相交于点,则的值为________
【答案】
【解析】消去参数可得曲线的普通方程为;曲线的极坐标方程是,即为,故其直角坐标方程为.
由题意得为圆直径的两个端点,故由.
设射线的极坐标方程为,则射线的极坐标方程为或,
又曲线的极坐标方程为,即,
∴,
∴.
答案:
点睛:
(1)曲线的极坐标方程的常见命题角度:
①求曲线的极坐标方程;②在极坐标下求点到直线的距离;③在极坐标下求线段的长度.
(2)求解与极坐标有关的问题的主要方法
①直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;
②转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.
三、解答题:(本题包括6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 为了解心脑血管疾病是否与年龄有关,现随机抽取了50人进行调查,得到下列的列联表:
患心脑血管
不患心脑血管
合 计
大于45岁
22
8
30
小于45岁
8
12
20
合 计
30
20
50
试问能否在犯错的概率不超过5%的前提下,认为患心脑血管疾病与年龄有关?
附表:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式:,其中
【答案】见解析
【解析】试题分析:
根据列联表中的数据求得的值,然后判断此值是否大于3.841即可得到结论.
试题解析:
由列联表可得
∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为患心脑血管疾病与年龄有关.
18. 随着经济的发展,某城市市民的收入逐年增长,该城市某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如下表:
年份
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款(千亿元)
6
7
8
9
11
(I)求出关于的线性回归方程;
(II)用所求的线性方程预测到2020年底,该银行的储蓄存款额为多少?
参考公式: 其中
【答案】(I);(II)14.2千亿元.
【解析】试题分析:
(I)由于条件中的数据较大,故可采用引入新变量的方法,将数据减小.故令,结合所给数据求得,和,然后根据参考公式求得回归方程,最后在代换为原变量即可得到关于的线性回归方程.(II)在(I)中的回归方程中,令,可得,即为所求的估计值.
试题解析:
(I)令得到下表
时间代号
1
2
3
4
5
0
1
2
3
5
由题意知:,,
,
,
∴,
∴,
∴z关于t的回归方程为
∴ ,
整理得,
∴关于的线性回归方程为.
(II)当时,,
∴ 到2020年年底,该银行的储蓄存款额可达14.2千亿元.
点睛:求线性回归直线方程的步骤
(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系;
(2)求系数:公式有两种形式,,根据题目具体情况灵活选用;
(3)求:;
(4)写出回归直线方程.
说明:当数据较复杂时,题目一般会给出部分中间结果,观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求.
19. 在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线,曲线.
(I)求曲线及的直角坐标方程;
(II)设为曲线上的动点,求点到上的点的距离最大值.
【答案】(I)的直角坐标方程为;的直角坐标方程为;(II).
【解析】试题分析:
(I)根据极坐标方程和代换公式可得所求的直角坐标方程.(II)求出圆心到直线的距离,加上半径长后即可得到所求的最大距离.
试题解析:
(I)把代入方程,
得,即.
由得,
即,
把代入上式可得.
∴ 的直角坐标方程为,
的直角坐标方程为
(II)∵点到直线的距离,
∴点到上点的距离最大值为.
20. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).
(I)求曲线和的普通方程;
(II)设,若曲线和交于两点,求及的值.
【答案】(I)曲线的普通方程为;曲线的普通方程为;(II).
【解析】试题分析:
(I)由参数方程消去参数可得曲线和的普通方程.(II)结合(I)中的结论,利用直线的参数方程中参数的几何意义求解即可.
试题解析:
(I)由 消去参数可得;
由消去参数得,即.
∴曲线的普通方程为,曲线的普通方程为.
(II)将(为参数)代入整理得
,
设对应参数分别为,
则,
∴,
.
点睛:
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
(2)经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2.线段AB的中点为M,点M所对应的参数为.注意以下几个常用的结论:①;②;③;④.
21. 已知.
(I)求不等式的解集;
(II)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.
【答案】(I);(II)或.
【解析】试题分析:
(I)根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可.(II)画出函数的图象,由图象求得函数的最小值为4,解不等式可得所求范围.
试题解析:
(I)不等式即为,等价于
①或 ② 或③
由①得;
由②得;
由③得此不等式组无解.
综上.
∴不等式的解集为.
(II)由题意得,
画出函数的图象如图所示:
其中,
由图象可得函数的最小值为4.
由题意知,
即 ,
解得或.
∴实数的取值范围为.
22. 已知均为正实数.
(I)求证:;
(II)求证:.
【答案】(I)见解析;(II)见解析.
【解析】试题分析:
(I)将分式通分后,在分子中运用基本不等式后可得不等式,,,然后求和后利用基本不等式可得结论成立.(II)在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简,然后再利用基本不等式求解.
试题解析:
(I),
∴.
同理②
③
由①+②+③得:,
当且仅当时各个等号同时成立.
∴ .
(II)∵
,
当且仅当时各个等号同时成立.
∴.