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- 2021-07-01 发布
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第1节 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2
有两相异实根x1,
有两相等实根x1
没有实数根
+bx+c=0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
=x2=-
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
[常用结论与微点提醒]
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0,m>0,则<;>(b-m>0).
(2)若ab>0,且a>b⇔<.
2.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.
3.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( )
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( )
解析 (1)由不等式的性质,ac2>bc2⇒a>b;反之,c=0时,a>b⇒ac2>bc2.
(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等式ax2+bx+c>0的解集为∅.
(4)当a=b=0,c≤0时,不等式ax2+bx+c≤0也在R上恒成立.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修5习题改编)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.> B.<
C.> D.<
解析 因为c<d<0,所以0>>,两边同乘-1,得->->0,又a>b>0,
故由不等式的性质可知->->0.两边同乘-1,得<.
答案 B
3.设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N等于( )
A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0]
解析 ∵M={x|x2-3x-4<0}={x|-10,解得x>1或x<-1.
答案 {x|x<-1或x>1}
5.已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)≤0,则实数a的取值范围是________.
解析 若a=0,则f(x)=-1≤0恒成立,
若a≠0,则由题意,得
解得-4≤a<0,
综上,得a∈[-4,0].
答案 [-4,0]
考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】 (1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)(一题多解)若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
解析 (1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=+>0,
∴b>a,∴c≥b>a.
(2)法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.
法二 由<<0,可知b<a<0.①中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确;
②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;
③中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,
所以a->b-,故③正确;
④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b2>ln a2,故④错误.由以上分析,知①③正确.
答案 (1)A (2)C
规律方法 1.比较大小常用的方法:
(1)作差法;(2)作商法;(3)函数的单调性法.
2.判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除.
【训练1】 (1)(2018·赣州、吉安、抚州七校联考)设0b3 B.<
C.ab>1 D.lg(b-a)<0
(2)已知p=a+,q=,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是( )
A.p≥q B.p>q C.p
0的解集为( ) A. B. C. D. 解析 由2x2-x-3>0,得(x+1)(2x-3)>0, 解得x>或x<-1. ∴不等式2x2-x-3>0的解集为. 答案 B 命题角度2 含参不等式 【例2-2】 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a≤0). 解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1. ②当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; 当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意; 当<-1,即-2<a<0,解得≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当-2<a<0时,不等式的解集为; 当a=-2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为. 规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论: (1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 【训练2】 已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是________. 解析 由题意,知-,-是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a<0,所以解得 故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0, 解得x≥3或x≤2. 答案 {x|x≥3或x≤2} 考点三 不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度1 在R上恒成立 【例3-1】 若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( ) A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0) 解析 一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立, 则必有 解之得-3<k<0. 答案 D 命题角度2 在给定区间上恒成立 【例3-2】 (一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是________. 解析 要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立, 故mx2-mx+m-6<0, 即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法: 法一 令g(x)=m+m-6,x∈[1,3]. 当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0. 所以m<,则0<m<. 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0. 综上所述,m的取值范围是. 法二 因为x2-x+1=+>0, 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<. 因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可. 因为m≠0,所以m的取值范围是 . 答案 命题角度3 给定参数范围的恒成立问题 【例3-3】 已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( ) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) 解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4, 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立, 所以f(-1)=x2-5x+6>0, 且f(1)=x2-3x+2>0即可, 解不等式组得x<1或x>3. 答案 C 规律方法 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 【训练3】 (1)若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5] (2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________. 解析 (1)由于x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. (2)二次函数f(x)对于任意x∈[m,m+1], 都有f(x)<0成立, 则 解得-<m<0. 答案 (1)A (2) 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、选择题 1.(2018·汕头一模)已知集合A=,B={0,1,2,3},则A∩B=( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1} D.{1,2,3} 解析 ∵A=={x|00的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 解析 关于x的不等式ax-b<0即ax0可化为 (x+1)(x-3)<0,解得-1 0 B.2a-b< C.log2a+log2b<-2 D.2+< 解析 由题意知02=2,所以2+>22=4,D错误;由a+b=1>2,得ab<,因此log2a+ log2b=log2(ab)