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- 2021-07-01 发布
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[练案40]第三讲 简单的线性规划
A组基础巩固
一、单选题
1.关于x,y的不等式组表示的平面区域的面积为( C )
A.3 B.
C.2 D.
[解析] 平面区域为一个直角三角形ABC,其中A(3,1),B(2,0),C(1,3),所以面积为|AB|·|AC|=××=2,故选C.
[方法总结] 求平面区域的面积的方法
平面区域的面积问题主要包括两类题型:(1)求已知约束不等式(组)表示的平面区域的面积;(2)根据平面区域面积的大小及关系求未知参数,求解时需抓住两点:(1)正确判断平面区域的形状,如果形状不是常见的规则平面图形,则要进行分割;(2)求参数问题一般涉及一条动直线,因此确定其位置显得更为关键,有时还要对动直线的位置进行分类讨论.
2.(2020·黑龙江省大庆市模拟)设x,y满足约束条件,则z=2x-3y的最小值是( B )
A.-7 B.-6
C.-5 D.-3
[解析] 作出可行域:
并作出直线l0:2x-3y=0,平移l0
到经过点E(3,4)时,目标函数z=2x-3y,
取得最小值为:zmin=2×3-3×4=-6.故选B.
3.(2020·河北省唐山市模拟)若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( C )
A.1 B.2
C.7 D.8
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[解析] 作出线性约束条件的可行域,如图示:
由,解得A(2,3),
由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,
显然直线过A(2,3)时,z最大,最大值是7,故选C.
4.(2020·浙江湖州、衢州、丽水三地市期中)已知实数x,y满足则x2+y2的最小值是( B )
A. B.2
C.4 D.8
[解析] 画出可行域如下图所示,x2+y2表示原点到可行域内的点的距离的平方,由图可知,原点到可行域内的点的距离是原点到直线x+y-2=0的距离=,其平方为2.故x2+y2的最小值为2.故选B.
5.(2018·天津,2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( C )
A.6 B.19
C.21 D.45
[解析] 由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).
作出直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当经过点A(2,3)时,z取最大值,zmax
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=3×2+5×3=21,故选C.
6.(2020·福建龙岩质检)已知实数x,y满足不等式组,则x-y的取值范围为( B )
A.[-2,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-∞,2] D.[-2,2]
[解析] 设z=x-y,则y=x-z,
作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图:
平移直线y=x-z,由图象可知当直线y=x-z经过点A(-1,0)时,直线y=x-z的截距最大,
此时z最小,最小值z=-1-0=-1,
继续向下平移直线y=x-z,z值越来越大,
∴x-y的取值范围为[-1,+∞)故选B.
7.(2020·河北省张家口市、沧州市联考)若x,y变量满足,则使z=x+2y取得最小值的最优解为( C )
A.(-3,-1) B.(-,)
C.(2,-1) D.(-,)
[解析] 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:y=-x+z,其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值,
- 10 -
联立直线方程:,
可得点的坐标为B(2,-1).选择C.
8.(2020·河北省衡水中学调研)已知x、y满足约束条件,则|3x+4y-12|的最小值为( A )
A.5 B.12
C.6 D.4
[解析] 根据约束条件画出可行域,如图所示,
令z=3x+4y-12,转化为斜截式为y=-x+,
即斜率为-的一簇平行线,
是其在y轴的纵截距,
直线过O(0,0)时,其纵截距最小;
过B(1,1)时,其纵截距最大,
即-12≤z≤-5,所以5≤|z|≤12,
即|z|min=5,故选A项.
9.(2020·安徽黄山模拟)已知实数x,y满足,则的取值范围是( A )
A.[,] B.[,]
C.[,] D.[,2)
[解析] 画出x,y满足的可行域,如下图:
由,解得B(2,0),
- 10 -
由,解得,
C(,),可看作定点A(-1,-1)与动点P(x,y)连线的斜率,当动点P在B时,取最小值为,当动点P在C时,取最大值为=,
故≤≤,故答案为A.
二、多选题
10.若原点O和点P(1,1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值可以是( BC )
A.0 B.
C.1 D.2
[解析] 由题意得(-a)·(1+1-a)<0,解得00,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( B )
A. B.
C.1 D.2
[解析] 画出所表示的区域,作直线z=2x+y与直线x=1交于点A(1,-1),则点A必在直线y=a(x-3)上,∴-1=a(1-3),∴a=,故选B.
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4.(2020·湛江模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=()2x+y的最大值为 .
[解析] 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界).
要求解目标函数z=()2x+y的最大值,只需求解函数z′=2x+y的最小值,
结合函数z′=2x+y的几何意义可知,函数z′=2x+y在点C(1,1)处取得最小值z′min=2+1=3,
则目标函数z=()2x+y的最大值为()3=.
5.(2020·广东江门市模拟)在直角坐标系xOy中,记,表示的平面区域为Ω,在Ω中任取一点M(x0,y0),3x0-y0≥1的概率P= .
[解析] 根据不等式组得到可行域为:图中染色部分,满足3x0-y0≥1的是黑色部分,
在Ω中任取一点M(x0,y0),3x0-y0≥1的概率P即为黑色部分的面积除以总的染色面积.
P==.
6.(2020·宁夏银川模拟)已知实数x,y满足约束条件若目标函数z=2x+ay仅在点(3,4)取得最小值,则a的取值范围是__(-∞,2)__.
[解析] 作出不等式组对应的平面区域,如图所示,
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若a=0,则目标函数z=2x,
即为此时函数在A(3,4)时取得最大值,不满足条件,
当a≠0,由z=2x+ay,得y=-x+,
若a>0,目标函数斜率-<0,此时平移y=-x+得y=-x+在点A(3,4)处的截距最大,此时z取得最大值,不满足条件,
若a<0,目标函数斜率- >0,要使得目标函数z=2x+ay仅在点A(3,4)处取得最小值,
则-