专题42 古典概型的方法破析-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 15页

‎【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】‎ 第42讲 古典概型的方法破析 考纲要求:‎ ‎1．理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1、概率的有关概念：‎ ‎①随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．‎ ‎②频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．概率是频率的近似值，两者是不同概念。‎ ‎③基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母Ω表示．‎ ‎④事件的关系与运算：‎ 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件 A包含于事件B)‎ A⊆B 相等关系 若B⊇A且A⊇B A=B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件 为事件A与事件B的和事件 A∪B(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当A发生且事件B发生，则称 此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件 A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅；P(A∪B)＝‎ P(A)＋P(B)＝1‎ 其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：‎ 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．‎ 2、 古典概型 ‎（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，‎ ‎ ①有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎ ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．‎ ‎ （2）概率共式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝＝.‎ 应用举例:‎ 类型一、求基本事件常用方法 例1　一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．‎ ‎(1)共有多少个基本事件？(2)两个都是白球包含几个基本事件？‎ 解析　(1)解法一(采用列举法)‎ ‎ 分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号)．‎ ‎ 法二(采用列表法) 设5只球的编号为： a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表为：‎ ‎ 由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．‎ 例2．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：‎ 图1‎ ‎(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．‎ ‎ ‎ ‎ 点评：解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．‎ 类型二、古典概型的求法 例3．已知函数等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则在上有偶数个零点的概率是 _________.‎ 解析：，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以在上有偶数个零点的概率是 例4．为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．‎ ‎(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；‎ ‎(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．‎ ‎ 解析：(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．‎ ‎ 设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”， 则P(A)＝＝，‎ ‎ 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是.‎ ‎(2)设事件B为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，‎ ‎ 持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况．‎ ‎ 则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝，‎ ‎ 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是.‎ 点评：计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一：算出基本事件的总个数n； 步骤二：求出事件A所包含的基本事件个数m；‎ 步骤三：代入公式求出概率P.‎ 类型三、古典概型与其他知识的交汇 ‎(1)古典概型与平面向量相结合 例5．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合，y随机选自集合.‎ ‎(1)求a∥b的概率； (2)求a⊥b的概率．‎ ‎（2）古典概型与直线、圆相结合 例6．若是集合中任意选取的一个元素，则圆与圆内含的概率为__________.‎ 解析：数形结合可得，只能是圆在圆内部，则有，即，则圆与圆内含的概率为.‎ ‎（3）古典概型与数列相结合 例7．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是(　　)‎ ‎ A.　　　 　　　 B. C. D. 解析：列出10个数，找出小于8的数是关键．这10个数分别为1，－3,9，－27,81，…，(－3)8，(－3)9，小于8的数有6个，所以P(＜8)＝＝.‎ ‎（4）古典概型与函数相结合 例8．已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎（5）古典概型与圆锥曲线相结合 例9．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．‎ 解析：由e＝ >，得b>2a，当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝＝.‎ ‎（6）古典概型与统计相结合 例10．某市电视台为了宣传，举办问答活动，随机对该市15至65岁的人群进行抽样，频率分布直方图及回答问题统计结果如表所示：‎ ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取3人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第3组至少有1人获得幸运奖的概率.‎ 解析:（1）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取的 人中，第组的记为，第3组的记为，第4组的记为，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．‎ 试题解析：（1）第1组人数，所以，‎ 第2组人数，所以，‎ 第3组人数，所以，‎ 第4组人数，所以，‎ 第5组人数，所以，‎ 图4‎ 例11．以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.‎ ‎（1）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；‎ ‎（2）如果，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.‎ 解析：（1）利用平均数公式，计算，利用方差公式，计算 ‎；（2）利用列举法，求得基本事件的总可能有种，其中符合题意的有种，故概率为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为．‎ 方差． ‎ ‎（2）记甲组3名同学为，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为．他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中入选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是： ‎ 用表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则中的结果有5个，它们是：，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为． ‎ 考点：平均数与方差、标准差，古典概型. ‎ 点评：解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. ‎ 方法、规律归纳:‎ 计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一：算出基本事件的总个数n； 步骤二：求出事件A所包含的基本事件个数m；‎ 步骤三：代入公式求出概率P.‎ 实战演练:‎ ‎1．从标有数字，，的三个红球和标有数字，的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，则其中两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数共有种，其中两个数字各用两次的种，所以所求概率，故选B．‎ ‎3．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解 析：从1,3,5,7,9中选3个数字，有种不同选法，从2,4,6,8中选2个数字，有种不同选法，共组成个不同的五位数，其中偶数的个数为，所以该五位数为偶数的概率为，故选D．‎ ‎4．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．某车间共有名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，从该车间名工人中，任取人，则至少有名优秀工人的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：样本均值为．所以该车间名工人中优秀的有人．从该车间名工人中，任取人，则恰由名优秀工人的概率．故选C．‎ ‎6．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为的概率为.下列选项中，最能反映与的关系的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 解析：是的减函数，所以去掉C; 由得，选A:‎ 对于，；‎ 对于，；‎ 对于，‎ ‎7. 某学校高三年级共有11个班，其中班为文科班，班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，则所选两个班的序号之积为3的倍数的概率为__________．‎ ‎8．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．‎ ‎9．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设为每天饮品的销量，为该店每天的利润．‎ ‎（1）求关于的表达式；‎ ‎（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据利润等于销量乘以每一杯利润，而每一杯利润与销量是分段函数关系，得当时，每一杯利润为，所以；当时，中每一杯利润为，从第起每一杯利润为；（2）由，所以日利润不少于96元共有5天，由，所以日利润是97元共有2天，利用列举法得从这5天中任取2天共有10种基本事件，其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，因此所求概率为 试题解析：（1）． ‎ ‎（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元；‎ 日销售量为20杯时，日利润为96元；日销售量为21杯的有2 天， ‎ 销量为20杯的3天，记为，销量为21杯的2 天，记为，从这5天中任取2天，包括共10种情况． ‎ 其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故所求概率为．‎ ‎10．一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示.‎ ‎（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率 解析：（Ⅰ）由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为.‎ 容量的中位数为. ‎ ‎（Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml，249ml的4听分别记作：1，2，3，4，容量为250ml的2听分别记作：，.抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为和，则表示一次抽取的结果，即基本事件，从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有：‎ 共计15种，即事件总数为15.‎ 其中含有或的抽取结果恰有9种，即“随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml”的基本事件个数为9.‎ 所以从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率为.‎ ‎ ‎