【数学】2019届一轮复习人教B版第50讲　随机事件的概率学案 13页

第九章　概　率 第50讲　随机事件的概率 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性以及概率的意义以及频率与概率的区别．‎ ‎2．了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ ‎2017·山东卷，16‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，18‎ ‎2016·天津卷，2‎ ‎　随机事件的概率主要考查频率与概率的关系，结合概率的性质考查互斥事件和对立事件的概率．‎ 分值：5分 ‎1．事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件 不可能 事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件 随机 事件 在条件S下，__可能发生也可能不发生__的事件叫做相对于条件S的随机事件 ‎2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B__包含__事件A(或称事件A包含于事件B)‎ ‎__B⊇A__‎ ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B ‎__A＝B__‎ 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的__并事件__(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 若某事件发生当且仅当__事件A发生__‎ A∩B ‎(积事件)‎ 且__事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ ‎(或AB)‎ 互斥 事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立 事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，‎ P(A∪B)‎ ‎＝P(A)＋‎ P(B)＝1‎ ‎3．频率与概率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝__　　__为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的__频率fn(A)__稳定在某个常数上，把这个__常数__记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．‎ ‎4．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝__1__.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝__0__.‎ ‎(4)互斥事件概率的加法公式：‎ ‎①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__；‎ ‎②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝__1－P(B)__.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　×　)‎ ‎(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　)‎ ‎(3)如果某种彩票的中奖概率为，那么买1 000张这种彩票一定能中奖．(　×　)‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　×　)‎ ‎(5)两个事件对立时一定互斥，但两个事件互斥时这两个事件未必对立．(　√　)‎ ‎2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　D　)‎ A．至多有一次中靶　　　 B．两次都中靶 C．只有一次中靶　　　 D．两次都不中靶 解析　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事 件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．‎ ‎3．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　B　)‎ A．134石　　　 B．169石　　　　‎ C．338石　　　 D．1 365石 解析　样品中米内夹谷的比为，所以这批米内夹谷为1 534×≈169(石)．‎ ‎4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于‎160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过‎175 cm的概率为(　B　)‎ A．0.2　　　 B．‎0.3　‎　　‎ C．0.7　　　 D．0.8‎ 解析　因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过‎175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.故选B.‎ ‎5．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝__　　__(结果用最简分数表示)．‎ 解析　∵P(A)＝，P(B)＝，且A与B是互斥事件，‎ ‎∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.‎ 一　随机事件的关系 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而判断所给事件的关系．‎ ‎【例1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不大于‎3”‎，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于‎4”‎，则(　D　)‎ A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 解析　根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．‎ 二　随机事件的频率与概率 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．‎ ‎【例2】 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下.‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．‎ 解析　(1)在容量为30的样本中不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝＝.‎ ‎(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日、2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.‎ 三　互斥事件、对立事件的概率 求复杂互斥事件概率的两种方法 ‎(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算．‎ ‎(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解，即用正难 则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便．‎ ‎【例3】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下表所示.‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎(1)求至多2人排队等候的概率；‎ ‎(2)求至少3人排队等候的概率．‎ 解析　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)方法一　记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，故P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 方法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.‎ ‎1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　D　)‎ A．A＋B与D是互斥事件，也是对立事件 B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件 C．B＋D与A＋C是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件 解析　由于事件A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其他3个事件的和事件必然为对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．‎ ‎2．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是__A与B，A与C，B与C，B与D__，互为对立事件的是__B与D__.‎ 解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．‎ ‎3．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下表所示.‎ 赔付金额/元 ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数/辆 ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．‎ 解析　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为 P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎4．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数/人 x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间/‎ ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．‎ 解析　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20.‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．‎ ‎(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”. 将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ 错因分析：忽视对立事件与互斥事件的区别与联系是致错的主要原因．对立事件和互斥事件都是不可能同时发生的事件，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生，所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件，反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件．‎ ‎【例1】 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件A“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个(　)‎ A．①②　　　 B．①③　　　　‎ C．②③　　　 D．①②③‎ 解析　从口袋内一次取出2个球，这个试验的所有结果有(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，共6种结果，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，故为互斥事件，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．故选A．‎ 答案　A ‎【跟踪训练1】 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．‎ ‎(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；‎ ‎(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；‎ ‎(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”‎ 解析　从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．‎ ‎(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”，“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．‎ ‎(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．‎ ‎(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2种情况，“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．‎ 课时达标　第50讲 ‎[解密考纲]考查随机事件、频率、概率等概念，考查概率的概念、性质和加法公式，常以选择题、填空题的形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”这句话(　B　)‎ A．正确 　　　 B．错误 C．不一定　　　 D．无法解释 解析　解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的．经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题、4题或12道题都选择正确．故选B.‎ ‎2．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系为(　A　)‎ A．两个任意事件　　　 B．互斥事件 C．非互斥事件　　　 D．对立事件 解析　虽然P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，但A与B可能有交集，所以A，B不一定是互斥事件，所以A，B之间的关系无法确定．故选A．‎ ‎3．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　D　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝＝＝.故选D.‎ ‎4．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(　D　)‎ A．0.45　　　 B．0.67‎ C．0.64　　　 D．0.32‎ 解析　摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.‎ ‎5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为(　C　)‎ A．，　　　 B．， C．，　　　 D．， 解析　“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－－＝.‎ 设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.‎ ‎6．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是(　C　)‎ A．恰有2名男生与恰有4名男生 B．至少有3名男生与全是男生 C．至少有1名男生与全是女生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 解析　“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选C．‎ 二、填空题 ‎7．一个盒子中有10个大小相同的球，分别标有1,2,3，…，10，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是__　　__.‎ 解析　取2号、4号、6号、8号、10号球是互斥事件，因概率均为，故所求概率P＝＋＋＋＋＝.‎ ‎8．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是__　　__，他至多参加2个小组的概率为__　　__.‎ 解析　随机选一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3个小组的概率P(B)＝＝，则他至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－＝.‎ ‎9．2018年平昌冬奥会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.若通晓中文和韩语的人数不超过3人，则这组志愿者的人数为__10__.‎ 解析　设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，z∈N*，则解得所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.‎ 三、解答题 ‎10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：‎ ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率；‎ ‎(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．‎ 解析　方法一　记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，‎ 则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，‎ P(A4)＝.‎ 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．‎ 由互斥事件的概率公式，得 ‎(1)取出1球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.‎ ‎(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ 方法二 　(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)‎ ‎＝1－－＝.‎ ‎(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，‎ 所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.‎ ‎11．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A，B，C能答对题目的概率分别为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝，如果将三个臭皮匠A，B，C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？‎ 解析　①如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目彼此互斥(即他们能答对的题目不重复)，‎ 则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，‎ 又P(D)＝，∴P(A＋B＋C)>P(D)．‎ ‎∴三个臭皮匠为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮．‎ ‎②如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．‎ ‎12．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下表所示.‎ 所用时间/分钟 ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50 ～60‎ 选择L1的人数 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎12‎ 选择L2的人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的人数的概率；‎ ‎(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；‎ ‎(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径？‎ 解析　(1)由已知共调查了 100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，‎ ‎∴用频率估计相应的概率为0.44.‎ ‎(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，‎ 故由调查结果得频率如下表所示.‎ 所用时 间/分钟 ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50～60‎ L1的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(3)设A1，A2分别表示事件甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示事件乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.‎ ‎∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1.‎ 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，‎ P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，‎ ‎∵P(B1)