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- 2021-07-01 发布
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银川一中2018/2019学年度（下）高二期中考试
数学试卷(理科)
命题人：赵冬奎
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )
2．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有 ( )
A．A个 B．C个 C．A个 D．C个
3．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是( )
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
5.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.设，那么的值为（ ）
A． B． C． D．-1
7. 随机变量服从二项分布，且则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 0
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
8．有下列数据
下列四个函数中，模拟效果最好的为( )
A．y＝3× B．y＝log2x C．y＝3x D．y＝x2
9．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是( )
A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大
C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大
10．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．将三颗相同的普通骰子各掷一次，设事件A＝“掷得的向上的三个点数都不相同”，B＝“至少出现一个6点向上”，则概率P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
12．如图，以环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同
的花供选种，要求在每块里种1 种花，且相邻的两块种不
同的花。则不同的种法总数为（ ）
A. 96 B. 84 C. 60 D. 48
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有________．
14.已知直线的极坐标方程为，则极点到直线的距离是
15．观察下列各式:；；；；……，照此规律，当时，
.
16. 已知a，b为常数，b>a>0，且a，－，b成等比数列，(a＋bx)6的展开式中所有项的系数和为64，则a等于________．
三．解答题：
17．(本小题满分10分)
已知(－)n的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
(1)求n；
(2)求展开式中x的一次项的系数．
18.(本小题满分12分)
“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性
女性
合计
爱好
10
不爱好
8
合计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？
(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．参考数据：
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）
高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数与答题正确率的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如表数据：
x
1
2
3
4
y
20
30
50
60
（1）求关于的线性回归方程，并预测答题正确率是的强化训练次数（保留整数）；
（2）若用（）表示统计数据的“强化均值”（保留整数），若“强化均值”的标准差在区间内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，，样本数据，，…，的标准差为
20.（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点
满足，求.
21．（本小题满分12分）
已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点，以极轴为轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线上任一点为，求的取值范围．
22.（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
高二期中数学(理科)试卷参考答案
1-6：A B C D A A 7-12：B A D D A B
13. 36 14. 15. 4n-1 16.
17．(1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C＝C，解得n＝11.
(2)由(1)知，展开式的第k＋1项为
Tk＋1＝C()11－k(－)k＝(－2)kCx. 令＝1得k＝3.
此时T3＋1＝(－2)3Cx＝－1 320x，所以展开式中x的一次项的系数为－1 320.
18.解：(1)
男性
女性
合计
爱好
10
6
16
不爱好
6
8
14
合计
16
14
30
由已知数据可求得：
χ2＝
≈1.158<3.841，
所以没有把握认为爱好运动与性别有关．
(2)X的取值可能为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
X的数学期望为
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
19. 【解析】
（1）由所给数据计算得：，，，，
，·····3分 ，·····4分
所求回归直线方程是，·····5分
由，得预测答题正确率是的强化训练次数为7次．·····6分
（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9，平均数是7，
“强化均值”的标准差是，
所以这个班的强化训练有效．·····12分
20. 解析：（1）曲线的直角坐标方程是，化成极坐标方程为；
曲线的直角坐标方程是.
（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，代入得，
又，所以，因此.
21. 【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数）消去参数可得直线l的普通方程为：x+y﹣2﹣1=0
由ρ=2，两端平方可得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4…（5分）
（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2+=4，
即+=1 又点M在曲线C′上，则（θ为参数）
代入x0+y0得：x0+y0得=•2cosθ+•4sinθ=22osθ+2sinθ=4sin（θ+），
所以x0+y0的取值范围是[﹣4，4]…（10分）
22．解：
(1)依题意，p1＝P(40120)＝＝
0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
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