数学文卷·2017届山西省实验中学高三3月联考（2017 10页

山西省实验中学2017届下学期高三级联考 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若复数满足其中为虚数单位，则复数的模为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.过双曲线的右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为,为坐标原点，若则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设是定义在上的奇函数，且,当时,则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若将函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图象，且的图像的一条对称轴方程为则的最小正周期为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.如图，格纸上正方形小格的边长为，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，切削该毛坯得到一个表面积最大的长方体，则该长方体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知实数满足且的最大值为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知在所在平面内有两点满足若则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知抛物线过其焦点的直线与抛物线分别交于两点（在第一象限内）,过的中点且垂直于的直线与轴交于点，则三角形的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数与的图像上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知使得函数的定义域为的概率为 ．‎ ‎14.古代数学家杨辉在沈括的隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由个球组成，以下各层的长、宽依次各增加过一个球，共有层，最下层（即下底）由个球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下：,根据以上材料，我们可得 ．‎ ‎15.设函数，函数若存在唯一的使得的最小值为则实数的取值范围为 ．‎ ‎16.已知中,则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列为等差数列，且数列的前项和 ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项的和 ‎18.京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”‎ ‎，为纪念著名京剧表演艺术家、京剧艺术大师梅兰芳先生，某市电视台举办《我爱京剧》的比赛，并随机抽取位参与《我爱京剧》比赛节目的票友的年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在内），样本数据分组区间为由此得到如图所示的频率分布直方图. ‎ ‎（Ⅰ）若抽取的这位参与节目的票友的平均年龄为，据此估计表中的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若按分层抽样的方式从中再抽取人，参与有关京剧知识的问答，分别求抽取的年龄在和的票友中人数；‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）中抽取的人数，从年龄在的票友中任意选人，求这两人年龄都在内的概率.‎ ‎19. 如图,平面平面四边形为直角梯形,四边形为等腰梯形,且 ‎ ‎（Ⅰ）若梯形内有一点，使得平面,求点的轨迹；‎ ‎（Ⅱ）求多面体体积.‎ ‎20. 已知为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为上顶点为,右顶点为,以为直径的圆与椭圆内切,直线与圆相交得到的弦长为 ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与以为直径的圆相切，并且与椭圆交于不同的两点,求的面积的最大值.‎ ‎21.设函数 ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求 ‎（Ⅱ）存在极大值点且（其中），求证：‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为 ‎（Ⅰ）求直线以及曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求三角形的面积.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的定义域为 ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若的最大值为，且求证：‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）数列为等差数列，所以又因为，当时，所以当时，‎ 即数列是首项为，公比为的等比数列，所以 ‎（Ⅱ）①‎ ‎②‎ 两式相减得 所以 ‎18.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得 解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，样本年龄在岁的票友共有人，样本年龄在岁的票友共有人，样本年龄在岁的票友共有人，样本年龄在岁的票友共有人，样本年龄在岁的票友共有人，故年龄在岁的票友需抽取（人），在岁的票友需抽取（人）.‎ ‎（Ⅲ）设年龄在岁的票友为，在岁的票友为则从中抽取两人的基本结果有共种，‎ 其中票友年龄都在内的结果为共种，‎ 所以其概率为.‎ ‎19.解：（Ⅰ）设为的中点，连接 因为所以又所以四边形为平行四边形，所以又平面所以平面 同时又所以四边形也为平行四边形，所以 又平面所以平面 因为所以平面平面 故当位于线段上时，平面从而点的轨迹为线段 ‎（Ⅱ）连接由题意因为平面平面平面平面 所以平面又可证所以平面所以几何体的体积为,几何体的体积为故多面体的体积为 ‎20.解：（Ⅰ）因为以为直径的圆与椭圆内切，所以圆的方程为直线的方程为所以所以所以椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）由已知可设直线的方程为 直线与圆相切，‎ 得 ‎ 又设由方程组 消去整理得 其判别式 由韦达定理得 又点到直线的距离为 令 当且仅当时，等号成立，故的面积的最大值为 ‎21.解：（Ⅰ）由已知，又即 所以 ‎（Ⅱ）由题知：有两不等正根，即有两不等正根，‎ 从而得 ， ， ‎ 易知 因为所以 令则 故 即 ‎22.解:(Ⅰ)的参数方程为化为普通方程为 直线的极坐标方程为 曲线的普通方程为 所以极坐标方程为 ‎(Ⅱ)由得所以 点到直线的距离所以 ‎23.解:(Ⅰ)函数的定义域为,即恒成立,即 设 根据图像可知当时,所以 ‎(Ⅱ)因为的最大值为,所以,故 所以 当且仅当时,等号成立.‎