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- 2021-07-01 发布
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班级 姓名 学号 分数
《必修五专题二余弦定理》测试卷(A卷)
(测试时间:120分钟 满分:150分)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在中,角的对边分别为,已知,则( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理: 得:
,∴c2−c−2=0,∴c=2或−1(舍).
本题选择B选项.
2.在中, ,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.在中,角对应的边分别为, ,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】由余弦定理有,代入已知值有 求出,选A.
4.设中,角所对的边分别为,若, , ,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,根据余弦定理,得,即,解得或,又,所以,故选B.
点睛:此题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,以及解一元二次方程的运算能力等方面的知识,属于中档题型,也是常考题型.在解决过程中,注意条件的使用,即在解三角形中有“大角对大边,小解对小边”或是“大边对大角,小边对小角”的说法.
5.在中, , ,且的面积,则边的长为( )
A. B. 3 C. D. 7
【答案】A
【解析】因为△ABC中, , ,且△ABC的面积
选A.
6.在△ABC中,如果,那么cosC等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理可将化为
.
7.观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米,测得灯塔在观察站北偏东,灯塔在观察站正西方向,则两灯塔间的距离为( )
A. 500米 B. 600米 C. 700米 D. 800米
【答案】C
【解析】如图,由题知,在△ABC中AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,由余弦定理得:
所以AB=700米.
8.的内角的对边分别为,已知,则( )
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】由余弦定理: ,即: ,
整理可得: ,三角形的边长为正数,则: .
本题选择D选项.
9.在中, ,则的形状为( )
A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
在判断三角形形状的方法中,一般有,利用正余弦定理边化角,角化边,寻找关系即可.
10.若的内角所对的边分别是,已知,且,则等于( )
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】由可得: ,在由余弦定理得: .
11.在中, , 边上的高为, 为垂足,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
12.在中,角,,所对的边分别是,,,已知,则角的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理,代入已知条件得,,整理得,所以,又,所以,故选B.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.为钝角三角形,且为钝角,则与的大小关系为__________.
【答案】
【解析】∵△ABC为钝角三角形,且∠C为钝角
∴cosC<0
∵cosC=
∴<,
故答案为:.
14.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=,则b=______________
【答案】4
【解析】 , , ,代入得:
, , , .
15.在中,设角的对边分别为.若,则角的大小为_________.
【答案】
【解析】,即
, 为三角形内角, ,故选答案为.
【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
16.在三角形中,内角所对的边分别为,若,且,则角_________.
【答案】
【解析】,,所以角为钝角,又,所以
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知分别是中角的对边,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(I)利用余弦定理表示出,把已知等式代入求出的值,即可确定出的大小;(II)将代入已知等式得,利用余弦定理表示出,利用恒等式求出.
试题解析:(Ⅰ)由余弦定理,得=. ……2分
∵,∴ . ……4分
(Ⅱ)解法一:将代入,得. ……6分
由余弦定理,得. ……8分
∵,∴. ……10分
解法二:将代入,得. ……6分
由正弦定理,得. ……8分
∵,∴. ……10分
【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用,利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系,熟练掌握定理是解本题的关键.在中,涉及三边三角,知三(除已知三角外)求三,可解出三角形,当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.
18.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根,且。求:(Ⅰ)角C的度数;
(Ⅱ)AB的长度。
【答案】(Ⅰ)120°(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(1)运用内角和定理和诱导公式,结合特殊角的三角函数值,即可得到C;(2)由韦达定理以及余弦定理,计算即可得到
19.已知在中, 分别是角所对应的边,且.
(1)若,求;
(2)若,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由正弦定理将边化角,可得,进而可求;
(2)由余弦定理可得,讲条件代入可得,进而可求面积.
试题解析:
(1) ,
又.
(2)由题意,得,
.
20.在中,角、、所对的边分别是、、,已知,且.
(1)当,时,求、的值;
(2)若角为锐角,求的取值范围
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)由正弦定理把已知等式化为即可利用已知条件解方程组.
(2)当角为锐角可转化为,从而再由由可得所以..
试题解析:由题意得,.
(I) 当时,,
解得
(II)
∴,又由可得所以.
21.在中,角所对的边分别为.且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)已知,根据正弦定理和合比定理求的值;(2)由余弦定理得出的值,再根据三角形的面积公式可求出的面积.
试题解析:(1)因为,
由正弦定理,
得,
∴;
(2)∵,
由余弦定理得,
即,
所以,
解得或(舍去),
所以.
22.在中满足条件.
(I)求;
(II)若,求三角形面积的最大值.
【答案】(I);(II).
试题解析:(I)由题意得,
即,故,
因为,所以;
(II),
所以,即,等号当时成立;
所以.