河北省衡水中学2017届高三下学期三调考试数学（理）试题 19页

河北衡水中学2016~2017学年度 高三下学期数学第三次调研（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. 已知集合，，全集，则等于（ ）A． B． C． D．‎ ‎3.若,且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知，则下列结论正确的是（ ）‎ A．是偶函数 B．是奇函数 ‎ C. 是奇函数 D．是偶函数 ‎5.已知双曲线：，若矩形的四个顶点在上，的中点为双曲线的两个焦点，且双曲线的离心率是2，直线的斜率为，则等于（ ）‎ A．2 B． C. D．3‎ ‎6.在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. 1 D．4‎ ‎7.已知函数的图象与直线的三个相 邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8. 某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为，，…，（如：表示5月3号的门票收入），下表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（ ）‎ A．3 B．4 C. 5 D．6‎ ‎9.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是（ ）‎ A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德 B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 ‎ C. 甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 ‎10.如图，已知正方体的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（ ）‎ A． B．或 C. D．或 ‎ ‎11.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交与两点.如果的斜率与的斜率之积为，则的大小等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，且对恒成立，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在的展开式中，含项的系数为 ．‎ ‎14. 在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积 率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为，，，那么 ．‎ ‎15.由约束条件，确定的可行域能被半径为的圆面完全覆盖，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.如图，已知为的重心，，若，则的大小为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和为，，常数，且对一切正整数都成立.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，当为何值时，数列的前项和最大？‎ ‎18.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：‎ ‎（月份）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（万盒）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；‎ ‎（2）若某药店现有该制药厂今年二月份的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.已知多面体如图所示，其中为矩形，为等腰等腰三角形，，四边形为梯形，且，，. ‎ ‎（1）若为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值等于？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎20.如图，椭圆：左、右顶点为、，左、右焦点为、，，.直线（）交椭圆于点两点，与线段、椭圆短轴分别交于两点（不重合），且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，求的取值范围.‎ ‎ 21.设函数，为自然对数的底数.‎ ‎（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；‎ ‎（2）当时，若存在，使成立，求实数的最小值.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，斜率为1的直线过定点.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；‎ ‎（2）两曲线相交于两点，若，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数，且不等式的解集为，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）对任意实数，都有成立，求实数的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDCAB 6-10: BDAAB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）令，得，因为，所以，当时，，，两式相减得，‎ 所以，从而数列为等比数列，‎ 所以.‎ ‎（2）当，时，由（1）知，，‎ 所以数列是单调递减的等差数列，公差为，所以 当时，，所以数列的前6项和最大.‎ ‎18.解：（1），，因线性回归方程过点，∴‎ ‎∴6月份的生产胶囊的产量数：.‎ ‎（2），，，‎ ‎，，其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎19.（1）因为，，，故平面，‎ 故平面，以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，易知平面的一个法向量，所以，所以，又平面，所以平面.‎ ‎（2）当点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值等于.理由如下：‎ 直线与平面所成角的余弦值为，即直线与平面所成角的正弦值为，因为，设平面的法向量为，‎ 由，得，取得平面的一个法向量 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于，‎ 设，则，，‎ 所以，‎ 所以，解得或（舍去）‎ 因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）因为，所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）将直线代入椭圆，得.‎ 设，则，‎ 又，由得，即，因为，得，此时，‎ 因为直线与线段、椭圆短轴分别交于不同两点，‎ 所以且，即且.‎ 因为，所以，两边平方得 ‎，所以，又因为在上单调递增，所以，且，即 ‎，且，所以.‎ ‎21.解：（1）由已知得，，则，且，解之得.‎ ‎（2）当时，，又+故当即时，.‎ ‎“存在，使成立”等价于“当时，有”又当时，，∴，‎ 问题等价于“当时，有”.‎ ‎①当时，在上为减函数，则，故；‎ ‎②当时，在上的值域为，‎ ‎（i）当，即时，在上恒成立，故在上为增函数，于是，不合题意；‎ ‎（ii）当，即时，由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足当时，，为减函数；当时，，为增函数.‎ 所以，所以 ‎，与矛盾.‎ 综上，得的最小值为.‎ ‎22.解：（1）由得，所以曲线的直角坐标方程为，即，所以直线的参数方程为是（为参数）.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入中，得到，设对应的参数分别为，则，，故.‎ ‎23.解：（1）若，原不等式可化为，解得，即；‎ 若，原不等式可化为，解得，即；‎ 若，原不等式可化为，解得，即；‎ 综上所述，不等式的解集为，所以.‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ 故，，所以，即实数的最大值为2.‎