2017-2018学年北京市第四中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版） 8页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 北京四中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·福州期中]已知复数满足（为虚数单位），则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．[2018·滁州期末]某商品的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如下表所示：‎ 价格（元）‎ 销售量（件）‎ 由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·商丘九校]过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为4，则等于（ ）‎ A．12 B．8 C．6 D．4‎ ‎4．[2018·长郡中学]曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A．或 B．‎ C．或 D．‎ ‎5．[2018·南宁二中]某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如右表，则下列说法正确的是（ ）‎ 使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 学习成绩不优秀 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 参考公式：，其中．参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C．在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为使用智能手机对学习有影响 D．在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为使用智能手机对学习无影响 ‎6．[2018·滨州期末]执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·海淀期末] “”是“函数在上单调递增”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．[2018·定州中学]设函数在上可导，其导函数为，且函数 的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 ‎9．[2018·钦州期末]已知分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·淮北一中]将正整数排成下表：‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16 ‎ ‎……………‎ 则在表中数字2017出现在（ ）‎ A．第44行第80列 B．第45行第80列 C．第44行第81列 D．第45行第81列 ‎11．[2018·南阳一中]设，，都是正数，则三个数，，（ ）‎ A．都大于2 B．至少有一个不小于2‎ C．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎12．[2018·天津一中]已知抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·福州期中]复数满足（是虚数单位），则复数对应的点位于复平面的第_______象限．‎ ‎14．[2018·广州外国语]观察以下各等式：‎ ‎， ，‎ ‎，‎ 分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为__________．‎ ‎15．[2018·佳木斯一中]下列命题中，正确的命题有__________．‎ ‎①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；‎ ‎②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；‎ ‎③用相关指数来刻面回归效果；表示预报变量对解释变量变化的贡献率，越接近于1，说明模型的拟合效果越好；‎ ‎④若分类变量和的随机变量的观测值越大，则“与相关”的可信程度越小；‎ ‎⑤对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值具有一定的随机性，，间的这种非确定关系叫做函数关系；‎ ‎⑥残差图中残差点比较均匀的地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；‎ ‎⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．‎ ‎16．[2018·洛阳期末]已知命题：函数在上单调递增，命题：不等式的解集为，若是真命题，则实数的取值范围是______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．[2018·南宁期末]已知复数，（m∈R，i是虚数单位）．‎ ‎（1）若z是纯虚数，求m的值；‎ ‎（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．‎ ‎18．[2018·宁德期末]某中学为了解高二学生对“地方历史”校本课程的喜欢是否与在本地成长有关，在全校高二学生中随机抽取了20名，得到一组不完全的统计数据如下表：‎ ‎（1）补齐上表数据，并分别从被抽取的喜欢“地方历史”校本课程与不喜欢“地方历史”校本课程的学生中各选1名做进一步访谈，求至少有1名学生属于在本地成长的概率；‎ ‎（2）试回答：能否在犯错误的概率不超过0．10的前提下认为“是否喜欢地方历史校本课程与在本地成长有关”．附：‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19．[2018·宾阳一中]某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求出与的回归方程；‎ ‎（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6，请用所求回归方程预测该店当日的营业额．‎ 附：回归方程中，，‎ ‎20．[2018·修远中学]（1）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立．‎ ‎（2）求证：．‎ ‎21．[2018·闽侯八中]已知函数．‎ ‎（1）求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）对任意的，都有，求实数的取值范围．‎ ‎22．[2018·钦州期末]在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．‎ ‎（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；‎ ‎（2）当时，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，求线段的中点的坐标．‎ 文科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】根据题意，由复数的运算法则得到，根据复数的模的概念得到模长，故．故选：B．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由表中数据知，，‎ ‎，代入回归直线方程中，求得实数，故选D．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】，选A．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】，，切线方程是，即，选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】经计算，，，对照数表知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响，故选C．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】当时，，；当时，，；‎ 当时，，；当时，，；‎ ‎，输出的的值为，故选C．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】，当时，恒成立，即递增，但当时，恒成立，也递增，因此题中应是“充分不必要条件”，故选A．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】由图得或或，所以或或，因此为的极小值点，选D．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】连接，可得，，由焦距的意义可知，，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，即，变形可得双曲线的离心率，故选A．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，‎ 所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2．‎ 因为，，所以2017出现在第45行上．‎ 又由2017－1936=81，故2017出现在第81列，故选：D．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】因为，，都是正数，所以，当且仅当时取等号，故，，至少有一个不小于2，故选B．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】依题意画出示意图如图所示：‎ ‎∵，，∴，‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴的最大值为，故选B．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】四 ‎【解析】由题意易得：，∴，‎ 复数对应的点为，∴复数对应的点位于复平面的第四象限．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，与相差了，另外根据所给三个式子的特点可得一般规律为．‎ ‎15．【答案】②⑥⑦‎ ‎【解析】①回归直线恒过样本点的中心，可以不过任何一个样本点；‎ ‎②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，根据方差公式可知方差恒不变；‎ ‎③用相关指数来刻面回归效果；表示预报变量对解释变量变化的贡献率，越接近于0，说明模型的拟合效果越好；‎ ‎④若分类变量和的随机变量的观测值越大，则“与相关”的可信程度越大；‎ ‎⑤对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值具有一定的随机性，，间的这种非确定关系叫做相关关系；‎ ‎⑥残差图中残差点比较均匀的地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；‎ ‎⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．‎ 故答案为：②⑥⑦．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】若是真命题，则两者都是真命题，命题：函数在上单调递增，则，命题：不等式的解集为，则，两者取交集为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）．···········2分 因为z是纯虚数，所以且，···········4分 解得． ···········5分 ‎ ‎（2）因为是z的共轭复数，所以＝1－2m－（2m＋1）i．‎ 所以＋2z＝1－2m－（2m＋1）i＋2[1－2m＋（2m＋1）i] ‎ ‎＝3－6m＋（2m＋1）i． ···········7分 因为复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，‎ 所以， ···········9分 解得，即实数m的取值范围为．···········10分 ‎18．【答案】（1）（2）能在犯错误的概率不超过0．10的前提下认为“是否喜欢‘地方历史’校本课程与本地成长有关”‎ ‎【解析】（1）补齐表格如下：‎ 喜欢“地方历史校本”课程 不喜欢“地方历史校本”课程 合计 在本地成长 ‎8‎ ‎2‎ ‎10‎ 非本地成长 ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ 合计 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ ‎···········2分 由上表知，在喜欢“地方历史”校本课程的12名学生中抽取1人，在本地成长的概率为；在不喜欢“地方历史”校本课程的8名学生中抽取1人，在本地成长的概率为；‎ 设从中抽取的2名学生中至少有1名学生是在本地成长的事件为，则 ‎．··········6分 ‎（2），···········10分 答：能在犯错误的概率不超过0．10的前提下认为“是否喜欢‘地方历史’校本课程与本地成长有关”．···········12分 ‎19．【答案】（1）；（2）负相关，估值9．56千克．‎ ‎【解析】（1）∵令，则，，··········2分 ‎．∴．‎ ‎∴，∴，···········5分 ‎∴ ···········7分 ‎∴所求的回归方程是．···········8分 ‎（2）由知与之间是负相关，···········10分 将代入回归方程，可预测该店当日的销售额（千克）．‎ ‎···········12分 ‎20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）假设＜2和＜2都不成立，即2和2同时成立．‎ ‎∵x＞0且y＞0，∴，且．‎ 两式相加得，∴．这与已知条件矛盾，‎ ‎∴＜2和＜2中至少有一个成立．···········6分 ‎（2）原式子等价于2，‎ 两边平方得到 恒成立，得证．···········12分 ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），···········1分 函数在处的切线的斜率为，···········2分 又因为，即切点坐标为，···········3分 所以切线方程为，即，···········5分 ‎（2），即，‎ ‎．··········6分 设，则，‎ ‎，即，解得或，···········8分 当时，，时，，时，，‎ 即的增区间为和，减区间为，···········10分 所以当时，函数有最小值，‎ 即．···········12分 ‎22．【答案】（1）抛物线的方程为；（2）线段的中点的坐标为 ‎．‎ ‎【解析】（1）抛物线的焦点为，‎ 由点在直线上，···········2分 得，即．所以抛物线的方程为．···········4分 ‎（2）当时，曲线．‎ 设，，线段的中点 因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，‎ 于是直线的斜率为-1，设其方程为，···········6分 由，消去得，由和是抛物线的两相异点，得，‎ 从而，因此，所以，···········9分 又在直线上，所以，所以点，···········10分 此时满足式，故线段的中点的坐标为．···········12分