数学文卷·2018届重庆市江津中学高三4月月考（2018 10页

数学（文史类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.记为等差数列的前项和，若则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数，在区间上任取一点，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由 ，可得到，则①、②两个推理依次是（ ）‎ A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理 ‎ C. 归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理 ‎6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（ ）‎ A．可由函数的图象向左平移个单位而得 B．可由函数的图象向右平移个单位而得 C. 可由函数的图象向右平移个单位而得 D．可由函数的图象向右平移个单位而得 ‎11.如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，为双曲线的顶点，‎ 为双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数在区间的导函数为在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若与平面向量方向相反的单位向量为，则的坐标为 ．‎ ‎14.已知是上的减函数，那么的取值范围是 ．‎ ‎15.已知四面体中，其外接球的体积为，则该四面体的棱 ．‎ ‎16.已知函数，若的图象与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若点在边上，且的面积为，求边的长.‎ ‎18. 某机构组织语文、数学能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数目成绩为二等奖的考生有人.‎ ‎（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；‎ ‎（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；‎ ‎（3）已知本考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率.‎ ‎19. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，点在线段上，且平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当四棱锥体积最大时，求四棱锥的表面积.‎ ‎20. 已知椭圆的左右顶点分别为点坐标为为椭圆上不同于的任意一点，且满足.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆的另一角度为的中点为，若，求直线的斜率.‎ ‎21. 已知函数（是自然对数的底数）的最小值是.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若存在，使得不等式成立，求正整数的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知不等式.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CBACA 6-10:BACAB 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由及正弦定理可得，故，而 ‎，所以，即 ‎（2）由及可得是正三角形.‎ 由的面积为可得，即，‎ 故，在中，由余弦定理可得，即.‎ ‎18.解：（1）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人 ‎（2）设数学和语文两科的平均数和方差分别为 ‎，‎ ‎,因为,所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.‎ ‎（3）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人，设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率.‎ ‎19. 解：（1）由可得，‎ 易得四边形 是矩形，，‎ 又平面平面，‎ 又平面平面，‎ 又平面平面平面.‎ ‎（2）四棱锥的体积为，‎ 要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.‎ 由条件可得，即，‎ 当且仅当时，取得最大值，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ ‎，‎ 则四棱锥的表面积为.‎ ‎20. 解：(1)设，‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 但两点在椭圆上，椭圆的方程为.‎ ‎(2)由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，‎ ‎，‎ 联立，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 而,‎ ‎21.解：（Ⅰ）对求导可得，‎ ‎，‎ 于是由解得，由解得，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 由知，于是函数在单调递减，‎ 又，‎ 的值是．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 故，‎ 变形得．‎ 令函数，则．‎ 令函数，则，‎ 又，‎ 存在，使得．‎ 当，故在单调递减；‎ 当，故在单调递增．‎ 故．‎ 又，故，‎ 故，‎ 又，故，‎ 故正整数的最小值是.‎ ‎22.解：（1）的参数方程，消参得普通方程为，‎ 的极坐标方程为两边同乘得即；‎ ‎（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）代入曲线 得，由，得，‎ 设对应的参数为，由题意得即或，‎ 当时，，解得，‎ 当时，，解得，‎ 综上：或.‎