高中数学必修5能力强化提升1-1-1 5页

第一章 解三角形 ‎1.1　正弦定理和余弦定理 ‎1.1.1　正弦定理 双基达标　(限时20分钟) ‎1．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　在△ABC中，C＝120°，故A，B都是锐角．据正弦定理＝＝.‎ 答案　A ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且角A＝75°，则 b＝ (　　)．‎ A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－ 解析　如图所示．‎ 在△ABC中，由正弦定理得 ＝＝＝4.∴b＝2.‎ ‎3．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为 (　　)．‎ A．A>B B．Asin B⇔2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔a>b⇔A>B.‎ 答案　A ‎4．在△ABC中，若AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝________.‎ 解析　由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin A＝.‎ ‎∵BC＝2b，有一解．‎ 答案　④‎ ‎6．在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状．‎ 解　由正弦定理知＝＝，‎ ‎∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，‎ ‎∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝. ‎ 又∵>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．‎ 综合提高　(限时25分钟 ‎7．在△ABC中，若＝＝，则△ABC中最长的边是 (　　)．‎ A．a B．b C．c D．b或c 解析　由正弦定理知sin B＝cos B，sin C＝cos C，∴B＝C＝45°，∴A＝90°，故选A.‎ 答案　A ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A ‎)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝c·sin C，则角A，B的大小为 (　　)．‎ A.， B.， C.， D.， 解析　∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，‎ ‎∴tan A＝，∴A＝，‎ 由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.‎ 答案　C ‎9．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则 ＝________.‎ 解析　由已知A＝30°，B＝60°，C＝90°，＝2.‎ ‎∴＝＝＝＝2.‎ 答案　2‎ ‎10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.‎ 解析　∵b＝2a，∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°，‎ ‎∴sin(A＋60°)＝2sin A 即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A，‎ 化简得：sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30°.‎ 答案　30°‎ ‎11．已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．‎ 解：设方程的两根为x1、x2，‎ 由根与系数的关系，得 ‎∴bcos A＝acos B.‎ 由正弦定理得：sin Bcos A＝sin Acos B ‎∴sin Acos B－cos Asin B＝0，‎ sin(A－B)＝0.‎ ‎∵A、B为△ABC的内角，‎ ‎∴0＜A＜π，0＜B＜π，－π＜A－B＜π.‎ ‎∴A－B＝0，即A＝B.‎ 故△ABC为等腰三角形．‎ ‎12．(创新拓展)在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.‎ ‎(1)试确定△ABC的形状；‎ ‎(2)求的取值范围．‎ 解　(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得 sin A＝，sin B＝，‎ 代入＝，得：＝，‎ ‎∴b2－a2＝ab.①‎ ‎∵cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，‎ ‎∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，‎ ‎∴sin Asin B＝sin2C.‎ 由正弦定理，得·＝2，‎ ‎∴ab＝c2.②‎ 把②代入①得，b2－a2＝c2，‎ 即a2＋c2＝b2.‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ ‎(2)由(1)知B＝，∴A＋C＝，‎ ‎∴C＝－A.‎ ‎∴sin C＝sin＝cos A.‎ 根据正弦定理，＝ ‎＝sin A＋cos A＝sin.‎ ‎∵0