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  • 2021-07-01 发布

高中数学必修5能力强化提升1-1-1

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第一章 解三角形 ‎1.1 正弦定理和余弦定理 ‎1.1.1 正弦定理 双基达标 (限时20分钟) ‎1.在△ABC中,若a=5,b=3,C=120°,则sin A∶sin B的值是 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 在△ABC中,C=120°,故A,B都是锐角.据正弦定理==.‎ 答案 A ‎2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=c=+,且角A=75°,则 b= (  ).‎ A.2 B.4+2 C.4-2 D.- 解析 如图所示.‎ 在△ABC中,由正弦定理得 ===4.∴b=2.‎ ‎3.在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系为 (  ).‎ A.A>B B.Asin B⇔2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔a>b⇔A>B.‎ 答案 A ‎4.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则C=________.‎ 解析 由正弦定理得=,‎ ‎∴sin A=.‎ ‎∵BC=2b,有一解.‎ 答案 ④‎ ‎6.在△ABC中,若==,试判断三角形的形状.‎ 解 由正弦定理知==,‎ ‎∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B,‎ ‎∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=. ‎ 又∵>1,∴B>A,∴△ABC为直角三角形.‎ 综合提高 (限时25分钟 ‎7.在△ABC中,若==,则△ABC中最长的边是 (  ).‎ A.a B.b C.c D.b或c 解析 由正弦定理知sin B=cos B,sin C=cos C,∴B=C=45°,∴A=90°,故选A.‎ 答案 A ‎8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A ‎),若m⊥n,且acos B+bcos A=c·sin C,则角A,B的大小为 (  ).‎ A., B., C., D., 解析 ∵m⊥n,∴cos A-sin A=0,‎ ‎∴tan A=,∴A=,‎ 由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,‎ ‎∴sin(A+B)=sin2C,即sin C=1,∴C=,B=.‎ 答案 C ‎9.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,a=1,则 =________.‎ 解析 由已知A=30°,B=60°,C=90°,=2.‎ ‎∴====2.‎ 答案 2‎ ‎10.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A=________.‎ 解析 ∵b=2a,∴sin B=2sin A,又∵B=A+60°,‎ ‎∴sin(A+60°)=2sin A 即sin Acos 60°+cos Asin 60°=2sin A,‎ 化简得:sin A=cos A,∴tan A=,∴A=30°.‎ 答案 30°‎ ‎11.已知方程x2-(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和,且a、b为△ABC的两边,A、B为两内角,试判定这个三角形的形状.‎ 解:设方程的两根为x1、x2,‎ 由根与系数的关系,得 ‎∴bcos A=acos B.‎ 由正弦定理得:sin Bcos A=sin Acos B ‎∴sin Acos B-cos Asin B=0,‎ sin(A-B)=0.‎ ‎∵A、B为△ABC的内角,‎ ‎∴0<A<π,0<B<π,-π<A-B<π.‎ ‎∴A-B=0,即A=B.‎ 故△ABC为等腰三角形.‎ ‎12.(创新拓展)在△ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos C=1-cos 2C.‎ ‎(1)试确定△ABC的形状;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ 解 (1)在△ABC中,设其外接圆半径为R,根据正弦定理得 sin A=,sin B=,‎ 代入=,得:=,‎ ‎∴b2-a2=ab.①‎ ‎∵cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,‎ ‎∴cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,‎ ‎∴sin Asin B=sin2C.‎ 由正弦定理,得·=2,‎ ‎∴ab=c2.②‎ 把②代入①得,b2-a2=c2,‎ 即a2+c2=b2.‎ ‎∴△ABC是直角三角形.‎ ‎(2)由(1)知B=,∴A+C=,‎ ‎∴C=-A.‎ ‎∴sin C=sin=cos A.‎ 根据正弦定理,= ‎=sin A+cos A=sin.‎ ‎∵0