2018-2019学年辽宁省葫芦岛协作校高二下学期第二次考试数学（理)试题 解析版 16页

绝密★启用前 辽宁省葫芦岛协作校2018-2019学年高二下学期第二次考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数在复平面内对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.‎ ‎【详解】‎ ‎，该复数对应的点为，在第四象限.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.‎ ‎2．的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 展开式中所有项的二项式系数和为 ,令 即可。‎ ‎【详解】‎ 展开式中所有项的二项式系数和为 ， ，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式展开式中，二项式系数和的求法，要牢记公式，是基础题。‎ ‎3．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。‎ ‎【详解】‎ 大前提：正切函数是奇函数，正确；‎ 小前提：是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；‎ 结论：是奇函数，该函数为偶函数，故错误；‎ 结合三段论可得小前提不正确.‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查简易逻辑，考查三段论，属于基础题。‎ ‎4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，‎ 由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查对独立事件的理解和掌握程度，属于基础题。‎ ‎5．随机变量的分布列如下表，其中成等差数列,且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据 成等差数列， 以及随机事件概率和为1，解方程组即可求a。‎ ‎【详解】‎ 由，得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机变量分布列，利用题干中已知的等量关系以及概率和为1解方程组即可求出随机变量的概率，是基础题。‎ ‎6．若复数满足，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数模的公式即可求出实数的范围。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，解得.‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查复数乘法公式以及模的计算，不等式的解，属于基础题。‎ ‎7．观察下列不等式：.据此你可以归纳猜想出的一般结论为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把各不等式化成统一的形式后可猜想一般结论.‎ ‎【详解】‎ 即为，‎ 即为，即为，‎ 即为，‎ 故可以归纳猜想出的一般结论是：，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，要求从具体的不等式关系得到一个一般性结论，此类问题我们一般要去异求同方可找到一般性结论，同时还应该注意变量的范围.‎ ‎8．六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作分类，甲在左边第一位，有；甲在左边第二位，有；甲在左边第三位，有；‎ 甲在左边第四位，有；甲在左边第五位，有；然后直接相加求解即可 ‎【详解】‎ 甲在左边第一位，有；‎ 甲在左边第二位，有；‎ 甲在左边第三位，有；‎ 甲在左边第四位，有 甲在左边第五位，有；‎ 不同的站法有种，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列问题，属于基础题 ‎9．若函数在上单调递减，则的最小值是（ ）‎ A． B．-1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，则函数在上单调递减等价于在上恒成立，分离参数，即可求出的最小值。‎ ‎【详解】‎ 由，又在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立.又当时，，故，所以的最小值为.‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题。‎ ‎10．某导弹发射的事故率为，若发射次，记出事故的次数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.001，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的方差公式得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 解决离散型随机变量分布列和期望、方差问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．‎ ‎11．某食堂一窗口供应荤素共种菜，甲、乙两人每人在该窗口打种菜，且每人至多打种荤菜，则两人打菜方法的种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算甲乙两人打菜方法的情况数，进而由分步计数原理，即可得到结论。‎ ‎【详解】‎ 甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有种，则两人打菜方法的和数为种.‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查分类计数原理与分步计数原理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题。‎ ‎12．已知函数有两个不相同的零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出函数定义域以及导函数，讨论实数的范围，求出函数的单调区间以及最值，从而解出满足条件的实数。‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，且.‎ ‎①当时，成立，所以函数在为上增函数，不合题意；‎ ‎②当时，故时，，所以函数在上为增函数；‎ 当时，，所以函数在上为减函数.‎ 因此此时的最小值为，依题意知，解得.‎ 由于，函数在上为增函数，所以函数在上有唯一的一个零点.又因为，所以.‎ ‎，令，当时，，所以.‎ 又，函数在上为减函数，且函数的图像在上不间断，所以函数在上有唯一的一个零点.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查导数在函数研究中的应用，对于零点问题，一般是利用导数研究函数的单调区间以及最值，考查学生转化与划归的思想，属于中档题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知复数是纯虚数，则实数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简为的形式，根据复数是纯虚数求得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为为纯虚数，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.‎ ‎14．已知随机变量服从正态分布，，则__________．‎ ‎【答案】0.22.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．‎ ‎15．函数的图像在处的切线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，把 分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，函数的图像在处的切线方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题。‎ ‎16．一个不透明的袋子中有大小形状完全相同的个乒乓球，乒乓球上分别印有数字，小明和小芳分别从袋子中摸出一个球（不放回），看谁摸出来的球上的数字大.小明先摸出一球说：“我不能肯定我们两人的球上谁的数字大.”然后小芳摸出一球说：“我也不能肯定我们两人的球上谁的数字大.”那么小芳摸出来的球上的数字是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于小明先摸出一球说：“我不能肯定我们两人的球上谁的数字大.”，即可确定小明摸出来的可能是，由于小芳也不能确定谁大，从而得到小芳摸出来的球上的数字。‎ ‎【详解】‎ 由于两人都不能肯定他们两人的球上谁的数字大，说明小明摸出来的可能是，不可能是，而小芳也就知道了小明摸出来的可能是，小芳也说不能肯定两人的球上谁的数字大，说明小芳摸出来的只能是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逻辑推理，属于基础题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某高中尝试进行课堂改革.现高一有两个成绩相当的班级，其中班级参与改革，‎ 班级没有参与改革.经过一段时间，对学生学习效果进行检测，规定成绩提高超过分的为进步明显，得到如下列联表.‎ 进步明显 进步不明显 合计 班级 班级 合计 ‎（1）是否有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关?‎ ‎（2）按照分层抽样的方式从班中进步明显的学生中抽取人做进一步调查，然后从人中抽人进行座谈，求这人来自不同班级的概率.‎ 附：，当时，有的把握说事件与有关.‎ ‎【答案】（1）没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出的值，由此判断出没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）先根据分层抽样计算出班抽取的人数.然后利用列举法和古典概型概率计算公式求得所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 所以没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.‎ ‎（2）按照分层抽样，班有人，记为，班有人，记为，‎ 则从这人中抽人的方法有 ‎，共10种.‎ 其中人来自于不同班级的情况有种，所以所示概率是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查独立性检验的知识，考查分层抽样，考查列举法求解古典概型问题.属于中档题.‎ ‎18．已知，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）8；（2）255.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二项式展开式的通项公式可得到，即可得到的值 ‎（2）令，求得，再令，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，即，解得.‎ ‎（2）令，得，令，得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题。‎ ‎19．某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.‎ ‎（1）求这2人来自两个不同年级的概率；‎ ‎（2）设表示选到三年级学生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1).(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）正难则反，先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率，即为这2人来自两个不同年级的概率；‎ ‎（2）先求X的所有可能的取值，为0,1,2，再分别求 时对应的概率P进而得到分布列，利用 计算可得数学期望。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设事件表示“这2人来自同一年级”,‎ ‎ ‎ 这2人来自两个不同年级的概率为.‎ ‎（2）随机变量的可能取值为0,1,2,‎ ‎ , , ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于基础题型。‎ ‎20．已知，其前项和为.‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案；‎ ‎（2）由（1）得到前四项和的规律可猜想，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）计算，.‎ ‎（2）猜想.‎ 证明：①当时，左边，右边，猜想成立.‎ ‎②假设猜想成立，即成立，‎ 那么当时，，‎ 而，故当时，猜想也成立.‎ 由①②可知，对于，猜想都成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力．‎ ‎21．某工厂生产某种型号的电视机零配件，为了预测今年月份该型号电视机零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度月份至月份该型号电视机零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价（单位：元）和销售量（单位：千件）之间的组数据如下表所示：‎ 月份 销售单价（元）‎ 销售量（千件）‎ ‎（1）根据1至月份的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到）；‎ ‎（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号电视机零配件的生产成本为每件元，那么工厂如何制定月份的销售单价，才能使该月利润达到最大（计算结果精确到）？‎ 参考公式：回归直线方程，其中.‎ 参考数据：.‎ ‎【答案】（1）（2）7月份销售单价为10.8元时，该月利润才能达到最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式可计算线性回归方程.‎ ‎（2）利用（1）的回归方程可得7月份的利润函数，利用二次函数的性质可得其最大值.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由条件知，，，， ‎ 从而，‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）假设7月份的销售单价为元，则由（1）可知，7月份零配件销量为，‎ 故7月份的利润， ‎ 其对称轴，故7月份销售单价为10.8元时，该月利润才能达到最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的计算，注意线性回归方程所在的直线必定过点.此类问题是基础题.‎ ‎22．已知函数，为常数.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上有且只有一个极值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为； 的单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数定义域以及导函数，利用导数大于零和小于零，结合原函数的定义域即可求得原函数的单调区间；‎ ‎（2）求出 ，研究在区间上的单调性，由此可得函数在上有且只有一个极值点，则在区间上存在零点，即可得到关于的不等式，从而得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为.因为，所以，，‎ 当时，，所以的单调递增区间为；‎ 当时，，所以的单调递减区间为.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 令，所以在上单调递增.‎ 因为函数在上有且只有一个极值点，则函数在上存在零点，‎ 所以解得.所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在函数单调区间以及极值中的应用,有一定的综合性，属于中档题。‎