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- 2021-07-01 发布
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2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期末数学试题
一、单选题
1.已知圆,圆 ,则圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
【答案】C
【解析】,,
,,
,
即两圆外切,故选.
点睛:判断圆与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用圆心距与两半径和与差的关系.
(2)切线法:根据公切线条数确定.
(3)数形结合法:直接根据图形确定
2.计算的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直接由二倍角的余弦公式,即可得解.
【详解】
由二倍角公式得:,
故选D.
【点睛】
本题考查了二倍角的余弦公式,属于基础题.
3.在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为.
【详解】
根据对称性,点 关于 轴对称的点的坐标为.
故选A.
【点睛】
本题考查空间直角坐标系和点的对称,属于基础题.
4.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标.下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图.
在统计学中,同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较;环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较,例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较.据上述信息,下列结论中正确的是( )
A.2015年第三季度环比有所提高 B.2016年第一季度同比有所提高
C.2017年第三季度同比有所提高 D.2018年第一季度环比有所提高
【答案】C
【解析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论.
【详解】
解:2015年第二季度利用率为74.3%,第三季度利用率为74.0%,故2015年第三季度环比有所下降,故A错误;
2015年第一季度利用率为74.2%,2016年第一季度利用率为72.9%,故2016年第一季度同比有所下降,故B错误;
2016年底三季度利用率率为73.2%,2017年第三季度利用率为76.8%,故2017年第三季度同比有所提高,故C正确;
2017年第四季度利用率为78%,2018年第一季度利用率为76.5%,故2018年第一季度环比有所下降,故D错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查了新定义的理解,图表认知,考查分析问题解决问题的能力,属于基础题.
5.同时抛掷三枚硬币,则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据二项分布的概率公式求解.
【详解】
每枚硬币正面向上的概率都等于,
故恰好有两枚正面向上的概率为:.
故选B.
【点睛】
本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.
6.直线与直线平行,则( )
A. B.或 C. D.或
【答案】B
【解析】两直线平行,斜率相等;按,和三类求解.
【详解】
当即时,
两直线为,,
两直线不平行,不符合题意;
当时,
两直线为 ,
两直线不平行,不符合题意;
当即时,
直线的斜率为 ,
直线的斜率为,
因为两直线平行,所以,
解得或,
故选B.
【点睛】
本题考查直线平行的斜率关系,注意斜率不存在和斜率为零的情况.
7.已知, 表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C
【解析】试题分析:A中,两直线可能平行也可能相交或异面,故A错;B中,直线与可能平行也可能在平面内,故B错;C中,由线面垂直的定义可知C正确;D中,直线可能与面相交,也可能平行,还可能在面内,故D错,故选C.
【考点】1、空间直线与直线的位置关系;2、空间直线与平面的位置关系.
8.若圆的圆心在第一象限,则直线一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】由圆心位置确定,的正负,再结合一次函数图像即可判断出结果.
【详解】
因为圆的圆心坐标为,由圆心在第一象限可得,所以直线的斜率,轴上的截距为,所以直线不过第一象限.
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像,属于基础题型.
9.在空间四边形中, , ,,分别是, 的中点 ,,则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】平移两条异面直线到相交,根据余弦定理求解.
【详解】
如图所示:
设的中点为,连接,
所以,
则是所成的角或其补角,
又
根据余弦定理得:,
所以,
异面直线与所成角的为,
故选D.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.
10.已知函数和的定义域都是,则它们的图像围成的区域面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得,所以的图像是以原点为圆心,为半径的圆的上半部分;再结合图形求解.
【详解】
由可得 ,
作出两个函数的图像如下:
则区域①的面积等于区域②的面积,
所以他们的图像围成的区域面积为半圆的面积,
即.
故选C.
【点睛】
本题考查函数图形的性质,关键在于的识别.
11.在中,已知, .若最长边为,则最短边长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析:由,,解得,同理,由,,解得,在三角形中,,由此可得,为最长边,为最短边,由正弦定理:,解得.
【考点】正弦定理.
12.已知锐角中,角,,所对的边分别为,,,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由利用余弦定理,可得,利用正弦定理边化角,消去C,可得,利用三角形是锐角三角形,结合三角函数的有界性,可得
【详解】
因为,所以,
由余弦定理得:,
所以,
所以,
由正弦定理得,因为,
所以,
即,
因为三角形是锐角三角形,所以,所以,
所以或,
所以或(不合题意),
因为三角形是锐角三角形,所以,
所以,则,
故选C.
【点睛】
这是一道解三角形的有关问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有余弦定理,正弦定理,诱导公式,正弦函数在某个区间上的值域问题,根据题中的条件,求角A的范围是解题的关键.
二、填空题
13.若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】直线与圆有交点,则圆心到直线的距离小于或等于半径.
【详解】
直线即,
圆的圆心为,半径为,
若直线与圆有交点,则,
解得或,
故实数的取值范围是 .
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,点到直线距离公式是常用方法.
14.某公司调查了商品的广告投入费用(万元)与销售利润(万元)的统计数据,如下表:
广告费用(万元)
销售利润(万元)
由表中的数据得线性回归方程为,则当时,销售利润的估值为___.(其中:)
【答案】12.2
【解析】先求出,的平均数,再由题中所给公式计算出和,进而得出线性回归方程,将代入,即可求出结果.
【详解】
由题中数据可得:,,
所以,
所以,故回归直线方程为,
所以当时,
【点睛】
本题主要考查线性回归方程,需要考生掌握住最小二乘法求与,属于基础题型.
15.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点,,动点满足(其中和是正常数,且),则的轨迹是一个圆,这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”,该圆的半径为__________.
【答案】
【解析】设,由动点满足(其中和是正常数,且),可得,化简整理可得.
【详解】
设,由动点满足(其中和是正常数,且),
所以,
化简得,
即,
所以该圆半径
故该圆的半径为.
【点睛】
本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式,难点主要在于计算.
16.如图,正方体的棱长为,动点在对角线上,过点作垂直于的平面 ,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为,设, 则当时,函数的值域__________.
【答案】
【解析】根据已知条件,所得截面可能是三角形,也可能是六边形,分别求出三角形与六边形周长的取值情况,即可得到函数的值域.
【详解】
如图:
∵正方体的棱长为,
∴正方体的对角线长为6,
∵
(i)当或时,三角形的周长最小.
设截面正三角形的边长为,由等体积法得:
∴
∴,
(ii)或时,三角形的周长最大,截面正三角形的边长为,
∴
(iii)当时,截面六边形的周长都为
∴
∴当时,函数的值域为.
【点睛】
本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直,关键在于结合图形分析截面的三种情况,进而得出与截面边长的关系.
三、解答题
17.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者。现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组:第组,第组,第组,第组,第组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第,,组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动,应从第,,组各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下,该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验,求第组志愿者有被抽中的概率.
【答案】(1)分别抽取人,人,人;(2)
【解析】(1)频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积,进而算出各组频数,再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解;(2)列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况,再根据古典概型概率公式求解.
【详解】
(1)第组的人数为, 第组的人数为, 第组的人数为,
因为第,,组共有名志愿者,所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者,每组抽
取的人数分别为:第组: ;第组: ;第组: .
所以应从第,,组中分别抽取人,人,人.
(2)设“第组的志愿者有被抽中”为事件.
记第组的名志愿者为,,,第组的名志愿者为,,第组的名志愿者为,则
从名志愿者中抽取名志愿者有:
,,,,,,,,,,
,,,,,共有种.
其中第组的志愿者被抽中的有种,
答:第组的志愿者有被抽中的概率为
【点睛】
本题考查频率分布直方图,分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.
18.如图,在四棱锥中,底面是矩形,底面,是的中点, 已知,,,求:
(1)直线与平面所成角的正切值;
(2)三棱锥的体积.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)要求直线与平面所成角的正切值,先要找到直线在平面上的射影,即在直线上找一点作平面的垂线,结合已知与图形,转化为证明平面再求解;(2)三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高,此题以为底,与的中点的连线为高计算更为快速,从而转化为证明平面再求解.
【详解】
(1)平面,平面
又,,平面,平面
所以平面,所以为直线与平面所成角。
易证是一个直角三角形,
所以.
(2)如图,设的中点为,则,
平面,平面 , 又,
,, 又,,,
所以平面, 所以为三棱锥的高.
因此可求
【点睛】
本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影,一般转化为直线与平面的垂直;三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.
19.已知的顶点,边上的中线所在直线方程为, 边上 的高,所在直线方程为.
(1)求顶点 的坐标;
(2)求直线的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)根据边上的高所在直线方程求出的斜率,由点斜式可得的方程,与所在直线方程联立即可得结果;(2)设 则, 代入中,可求得点坐标,利用两点式可得结果.
【详解】
(1)由边上的高所在直线方程为得,
所以直线AB所在的直线方程为,即
联立 解得
所以顶点的坐标为(4,3)
(2)因为在直线上,所以设
则,
代入中,得
所以
则直线的方程为,即
【点睛】
本题主要考查直线的方程,直线方程主要有五种形式,每种形式的直线方程都有其局限性,斜截式与点斜式要求直线斜率存在,所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在;截距式要注意讨论截距是否为零;两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行;求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
20.如图,直三棱柱中,点是棱的中点,点在棱上,已知,,
(1)若点在棱上,且,求证:平面平面;
(2)棱上是否存在一点,使得平面证 明你的结论。
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】(1)通过证明,进而证明平面再证明平面平面;(2)取棱的中点,连接交于,结合三角形重心的性质证明,从而证明平面.
【详解】
(1)在直三棱柱中,由于平面,平面,
所以平面平面.(或者得出 )
由于,是中点,所以.平面平面,
平面 ,所以平面.而平面,于是.
因为,,所以,所以.
与相交,所以平面,平面
所以平面平面
(2) 为棱的中点时,使得平面 ,
证明:连接交于,连接.
因为,为中线,所以为的重心,.从而.
面,平面,所以平面
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明. 面面垂直的证明要转化为证明线面垂直,线面平行的证明要转化为证明线线 平行.
21.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形,小区的两个出入口设置在点及点处,且小区里有一条平行于的小路。
(1)已知某人从沿走到用了分钟,从沿走到用了分钟,若此人步行的速度为每分钟米,求该扇形的半径的长(精确到米)
(2)若该扇形的半径为,已知某老人散步,从沿走到,再从沿走到,试确定的位置,使老人散步路线最长。
【答案】(1)445米;(2)在弧的中点处
【解析】(1)假设该扇形的半径为米,在中,利用余弦定理求解;(2)设设,在中根据正弦定理,用和表示和,进而利用和差公式和辅助角公式化简,再根据三角函数的性质求最值.
【详解】
(1)方法一:设该扇形的半径为米,连接. 由题意,
得(米),(米),
在中,
即,
解得(米)
方法二:连接,作,交于,由题意,得(米),
(米), ,在中,
.
(米). .
在直角 中,(米),
(米).
(2)连接,设,
在中,由正弦定理得:,
于是, 则
,
所以当时,最大为 ,此时在弧的中点处。
【点睛】
本题考查正弦定理,余弦定理的实际应用,结合了三角函数的化简与求三角函数的最值.
22.已知的三个顶点,,,其外接圆为圆.
(1)求圆的方程;
(2)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(3)对于线段上的任意一点,若在以为圆心的圆上都存在不同的两点,,使得点是线段的中点,求圆的半径的取值范围.
【答案】(1)(2)或(3)
【解析】【详解】试题分析:(1)借助题设条件直接求解;(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解;(3)借助题设建立关于
的不等式,运用分析推证的方法进行求解.
试题解析:
(1)的面积为2;
(2)线段的垂直平分线方程为,线段的垂直平分线方程为,
所以外接圆圆心,半径,圆的方程为,
设圆心到直线的距离为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以.
当直线垂直于轴时,显然符合题意,即为所求;
当直线不垂直于轴时,设直线方程为,则,解得,
综上,直线的方程为或.
(3)直线的方程为,设,,
因为点是线段的中点,所以,又,都在半径为的圆上,所以
因为关于,的方程组有解,即以为圆心,为半径的圆与以为圆心,为半径的圆有公共点,所以,
又,所以对成立.
而在上的值域为,所以且.
又线段与圆无公共点,所以对成立,即.
故圆的半径的取值范围为.
【考点】直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用.