专题13+两招破解平面向量难题-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖 11页

一．【学习目标】‎ ‎1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．‎ ‎2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结 二．【平面向量解题方法规律】‎ ‎1.用向量解决平面几何问题的步骤 ‎(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；‎ ‎(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ‎ ‎【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），‎ 在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.‎ ‎（二）向量中的最值问题 例2．设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.‎ 练习1．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则对于任意的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当且仅当， 时，取得最小值 此时，取得最小值 ‎ 练习2．在边长为1的正△ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，则•的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，由此能求出当时，的最大值为．‎ ‎（三）投影问题 例3．已知||=1，||=2，∠AOB=60°，=+，λ+2μ=2，则在上的投影（　　）‎ A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．有最小值，没有最大值 D．既无最大值，双无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得：在上的投影为①‎ 代入①得 令得，代入得 当时，原式有最大值，‎ 当时，①式无最小值 故选：．‎ 练习1．已知||=1，||=2，∠AOB=60°，=+，λ+2μ=2，则在上的投影（　　）‎ A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．有最小值，没有最大值 D．既无最大值，双无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】运用向量投影的知识和减元可解决．‎ ‎（四）向量的几何意义 例4．是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】若，点在内部，则，反之不成立，例如时，点为边的中点，是点在内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选B. ‎ 练习2．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ 考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义. ‎ 方法点睛：由向量减法法则可知，代入已知条件得到，再把已知条件，代入得到，根据三点共线得，利用均值不等式得到，而，从而求得的最小值是.‎ 练习3．在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】由已知可得，又，对应项系数相等，得到结果.‎ ‎（七）坐标法解决向量问题 例7．如图，在矩形中， ， ，点为的中点，如果，那么的值是__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ 练习2．如图，为△的外心，为钝角，是边的中点，的值（ ） ‎ A． 4 B.．6 C．7 D． 5 ‎ ‎【答案】D 练习3．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）‎ A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 ‎【答案】B ‎【解析】解出，计算并化简可得出结论．‎ ‎【详解】λ（），‎ ‎∴，‎ ‎∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．‎ 故选：B．‎ 练习4．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则λ的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与 进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值． ‎ 即函数h（x）在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，‎ 则，‎ 即4e-2＜a．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ 故选：B．‎ 练习2．将向量列组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 ，那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列为等和向量列，若，则与向量 一定是垂直的向量坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查递推数列求每一下的方法，还考查了两个向量垂直的坐标表示.属于基础题.‎ 练习3．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：‎ ‎①M={（x，y）|y=x3﹣2x2+3}； ②M={（x，y）|y=log2（2﹣x）}；‎ ‎③M={（x，y）|y=2﹣2x}； ④M={（x，y）|y=1﹣sinx}；‎ 其中具有∟性的集合的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】条件等价于：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使OP⊥OP′．作出函数图象，验证即可． ‎ ‎【详解】‎ ‎∵||＝||＝1，且，‎ ‎∴可设，，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．‎ ‎∴的最大值．‎ 故选：C． ‎ 练习1．的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.‎ 练习2．已知在平面四边形中， ，，,，，点为边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题． ‎