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  • 2021-07-01 发布

2020届二轮复习坐标系与参数方程学案(全国通用)

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第1讲 坐标系与参数方程 ‎[做真题]‎ ‎1.(2019·高考全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.‎ ‎(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;‎ ‎(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.‎ 解:(1)由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.‎ 所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ,M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知:‎ 若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;‎ 若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;‎ 若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.‎ 综上,P的极坐标为或或或.‎ ‎2.(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点到l距离的最小值.‎ 解:(1)因为-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).‎ l的直角坐标方程为2x+y+11=0.‎ ‎(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数,-π<α<π).‎ C上的点到l的距离为=.‎ 当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.‎ ‎[明考情]‎ ‎1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.‎ ‎2.全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用.‎ 极坐标方程及其应用 ‎[典型例题]‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.‎ ‎(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【解】 (1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin =2.‎ 由已知得|OP|=|OA|cos =2.‎ 设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.连接OQ,‎ 在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2.‎ 经检验,点P在曲线ρcos=2上.‎ 所以,l的极坐标方程为ρcos=2.‎ ‎(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.‎ 因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是.‎ 所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈.‎ ‎(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧 ‎①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.‎ ‎②巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.‎ ‎③将直角坐标方程中的x换成ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.‎ ‎(2)求解与极坐标有关问题的主要方法 ‎①直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用.‎ ‎②转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.  ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy中,直线l1:x=0,圆C:(x-1)2+(y-1-)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线l1和圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线l2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设l1,l2与圆C的公共点分别为A,B,求△OAB的面积.‎ 解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以直线l1的极坐标方程式为ρcos θ=0,即θ=(ρ∈R),圆C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0.‎ ‎(2)设A(,ρ1)、B(,ρ2),将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0,‎ 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ1=1+.‎ 将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0,‎ 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ2=1+.‎ 故△OAB的面积为×(1+)2×sin=1+.‎ ‎2.(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与 C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.‎ 参数方程及其应用 ‎[典型例题]‎ ‎ (2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ ‎【解】 (1)曲线C的直角坐标方程为+=1.‎ 当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,‎ 当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0. ①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k ‎=tan α=-2.‎ ‎(1)有关参数方程问题的2个关键点 ‎①参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化.‎ ‎②利用参数方程解决问题,关键是选准参数,理解参数的几何意义.‎ ‎(2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:‎ ‎①t0=.‎ ‎②|PM|=|t0|=.‎ ‎③|AB|=|t2-t1|.‎ ‎④|PA|·|PB|=|t1·t2|.  ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ 解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|.‎ 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎2.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C交于A,B两点.‎ ‎(1)求|AB|的值;‎ ‎(2)若F为曲线C的左焦点,求·的值.‎ 解:(1)由(θ为参数),消去参数θ得+=1.‎ 由 消去参数t得y=2x-4.‎ 将y=2x-4代入x2+4y2=16中,得17x2-64x+176=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 所以|AB|=|x1-x2|=×=,所以|AB|的值为.‎ ‎(2)由(1)得,F(-2,0),则 ·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)‎ ‎=(x1+2)(x2+2)+(2x1-4)(2x2-4)‎ ‎=x1x2+2(x1+x2)+12+4[x1x2-2(x1+x2)+12]‎ ‎=5x1x2-6(x1+x2)+60‎ ‎=5×-6×+60=44,‎ 所以·的值为44.‎ 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎[典型例题]‎ ‎ (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=,点P的极坐标为(,).‎ ‎(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标;‎ ‎(2)(一题多解)设l与C交于A,B两点,线段AB的中点为M,求|PM|.‎ ‎【解】 (1)由ρ2=得ρ2+ρ2sin2θ=2 ①,将ρ2=x2+y2,y=ρsin θ代入①并整理得,曲线C的直角坐标方程为+y2=1.‎ 设点P的直角坐标为(x,y),因为点P的极坐标为(,),‎ 所以x=ρcos θ=cos =1,y=ρsin θ=sin=1.‎ 所以点P的直角坐标为(1,1).‎ ‎(2)法一:将代入+y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,Δ=1102-4×41×25=8 000>0,故可设方程的两根分别为t1,t2,则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2=-.‎ 依题意,点M对应的参数为,‎ 所以|PM|=||=.‎ 法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=.‎ 由,消去t,得y=x-.‎ 将y=x-代入+y2=1,并整理得41x2-16x-16=0,‎ 因为Δ=(-16)2-4×41×(-16)=2 880>0,‎ 所以x1+x2=,x1x2=-.‎ 所以x0=,y0=x0-=×-=-,即M(,-).‎ 所以|PM|= ‎==.‎ 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 ‎(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以先化成直角坐标的普通方程,这样思路可能更加清晰.‎ ‎(2)对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程计算会比较简捷.‎ ‎(3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐含条件.  ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为θ=.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)当00,结合00,‎ 所以+=+==.‎ 因为30,结合00,t2>0,‎ 所以+=+==.‎ 因为30)都在曲线M 上.‎ ‎(1)求证:ρ1=ρ2+ρ3;‎ ‎(2)若过B,C两点的直线的参数方程为(t为参数),求四边形OBAC的面积.‎ 解:(1)证明:由题意得ρ1=2cos φ,ρ2=2cos(φ+),ρ3=2cos(φ-),则ρ2+ρ3=2cos(φ+)+2cos(φ-)=2cos φ=ρ1.‎ ‎(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2-t=0,解得t1=0,t2=,所以在平面直角坐标中,B(,),C(2,0),则ρ2=1,ρ3=2,φ=,所以ρ1=.所以四边形OBAC的面积S=S△AOB+S△AOC=ρ1ρ2sin+ρ1ρ3sin=.‎ ‎1.(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy中,直线l1的倾斜角为30°,且经过点A(2,1).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l2:ρcos θ=3.从坐标原点O作射线交l2于点M,点N为射线OM上的点,满足|OM|·|ON|=12,记点N的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l1与曲线C交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的值.‎ 解:(1)直线l1的参数方程为(t为参数),即(t为参数).‎ 设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1)(ρ>0,ρ1>0),‎ 则,又ρ1cos θ1=3,所以ρ=12,即ρ=4cos θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0(x≠0).‎ ‎(2)设P,Q对应的参数分别为t1,t2,将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,‎ 得(2+t)2-4(2+t)+(1+t)2=0,‎ 即t2+t-3=0,Δ=13>0,‎ t1,t2为方程的两个根,所以t1t2=-3,‎ 所以|AP||AQ|=|t1t2|=|-3|=3.‎ ‎2.(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并取相同的单位长度,曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+)=1.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)过P(0,1)的直线l交曲线C1于A,B两点,当|PA|·|PB|=8时,求直线l的倾斜角.‎ 解:(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x2=4y,曲线C2的极坐标方程可化为ρcos θ-ρsin θ=2,化为直角坐标方程为x-y-2=0.‎ ‎(2)设直线l的参数方程为(m为参数,α为直线l的倾斜角且α≠90°),‎ 代入曲线C1的普通方程中得m2cos2α-4msin α-4=0,‎ 所以m1m2=,‎ 所以|PA|·|PB|=|m1m2|==8,得α=45°或135°,即直线l的倾斜角为45°或135°.‎ ‎3.(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为ρ(sin θ-acos θ)=(a∈R).‎ ‎(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程;‎ ‎(一题多解)(2)若直线C2与曲线C1有两个不同的交点,求a的取值范围.‎ 解:(1)曲线C1的普通方程为y=1-x2(-1≤x≤1),把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入ρ(sin θ-acos θ)=,得直线C2的直角坐标方程为y-ax=,即ax-y+=0.‎ ‎(2)法一:由直线C2∶ax-y+=0,知直线C2恒过点M(0,).由y=1-x2(-1≤x≤1),知当y=0时,x=±1,‎ 则直线MP的斜率为k1==,‎ 直线MQ的斜率为k2==-.‎ 因为直线C2的斜率为a,且直线C2与曲线C1有两个不同的交点,所以k2≤a≤k1,即-≤a≤.‎ 所以a的取值范围为[-,].‎ 法二:联立,消去y得x2+ax-=0,依题意,得x2+ax-=0在[-1,1]上有两个不相等的实根.‎ 设f(x)=x2+ax-,‎ 则解得-≤a≤.‎ 所以a的取值范围为[-,].‎ ‎4.(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=4sin(θ+).‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线C与直线l的交点为A,B,Q是曲线C上的动点,求△ABQ面积的最大值.‎ 解:(1)由消去t得x+y-5=0,所以直线l的普通方程为x+y-5=0.‎ 由ρ=4sin(θ+)=4sin θ+4cos θ,得ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,‎ 化为直角坐标方程为x2+y2=4x+4y,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8.‎ ‎(2)由(1)知,曲线C是以(2,2)为圆心,2为半径的圆,直线l过点P(3,2),可知点P在圆内.‎ 将直线l的参数方程化为,代入圆的直角坐标方程,得t2-9t+33=0.‎ 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=9,t1t2=33,‎ 所以|AB|=|t2-t1|==.‎ 又圆心(2,2)到直线l的距离d==,‎ 所以△ABQ面积的最大值为××(+2)=.‎ ‎5.(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ,直线l的参数方程为(t为参数,其中a>0),直线l与曲线C相交于M,N两点.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若点P(0,a)满足+=4,求a的值.‎ 解:(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2cos2θ=ρsin θ,‎ 由,得曲线C的直角坐标方程为y=x2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y=x2,得t2--a=0,Δ=+3a>0.‎ 设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,‎ 所以+== ‎===4,‎ 化简得64a2-12a-1=0,‎ 解得a=或a=-(舍去),‎ 所以a=.‎ ‎6.(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数,实数a>0),曲线C2:(φ为参数,实数b>0).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤)与C1交于O,A两点,与C2交于O,B两点,当α=0时,|OA|=1;当α=时,|OB|=2.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)求2|OA|2+|OA|·|OB|的最大值.‎ 解:(1)将C1的参数方程化为普通方程为(x-a)2+y2=a2,其极坐标方程为ρ1=2acos θ,‎ 由题意可得,当θ=α=0时,|OA|=2a=1,所以a=.‎ 将C2的参数方程化为普通方程为x2+(y-b)2=b2,其极坐标方程为ρ2=2bsin θ,‎ 由题意可得,当θ=α=时,|OB|=2b=2,所以b=1.‎ ‎(2)由(1)可得C1,C2的方程分别为ρ1=cos θ,ρ2=2sin θ,‎ 所以2|OA|2+|OA|·|OB|=2cos2θ+2sin θcos θ=sin 2θ+cos 2θ+1=sin(2θ+)+1.‎ 因为θ=α,0≤α≤,所以0≤θ≤,所以2θ+∈[,],‎ 所以当2θ+=,即θ=时,sin(2θ+)+1取得最大值,为+1.‎ ‎7.(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C的参数方程为(α为参数),以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)P,Q为曲线C上两点,若·=0,求的值.‎ 解:(1)由,得曲线C的普通方程是+y2=1,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得5ρ2sin2θ+2ρ2cos2θ=5,‎ 即ρ2=(ρ2=也可得分).‎ ‎(2)因为ρ2=,所以=sin2θ+,‎ 由·=0,得OP⊥OQ,‎ 设点P的极坐标为(ρ1,θ),则点Q的极坐标可设为(ρ2,θ±),‎ 所以== ‎===.‎ ‎8.(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.‎ ‎(1)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值;‎ ‎(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值.‎ 解:(1)由ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12得x2+3y2=12,故曲线C的直角坐标方程为+=1,点P的直角坐标为(-2,0),‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程+=1中,得t2-t-4=0,设点M,N对应的参数分别为t1,t2,则|PM|·|PN|=|t1t2|=4.‎ ‎(2)由(1)知,曲线C的直角坐标方程为+=1,可设曲线C上的动点A(2cos α,2sin α),0<α<,‎ 则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos α+2sin α)=16sin(α+),0<α<.‎ 因此该内接矩形周长的最大值为16,当且仅当α=时取得最大值.‎

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