高中数学选修2-3教学课件：3_1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 27页

2021/2/15 1 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（一） 高二数学 选修 2-3 2021/2/15 2 数学３ —— 统计内容 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 y ＝ bx ＋ a 用回归直线方程解决应用问题 2021/2/15 3 问题 1 ：正方形的面积 y 与正方形的边长 x 之间 的 函数关系 是 y = x 2 确定性关系 问题 2 ：某水田水稻产量 y 与施肥量 x 之间是否 有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 复习 变量之间的两种关系 2021/2/15 4 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 · · · · · · · 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 x y 施化肥量 水稻产量 2021/2/15 5 自变量取值一定时，因变量的取值 带有一定随机性 的两个变量之间的关系叫做 相关关系 。 1 、定义 ： 1 ）： 相关关系 是一种 不确定性 关系； 注 对具有相关关系的两个变量进行 统计分析 的方法 叫 回归分析 。 2 ）： 2021/2/15 6 现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量 y 与施肥量 x 之间大致有何规律？ 2021/2/15 7 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 · · · · · · · 发现：图中各点， 大致分布在某条直线附近。 探索 2 ：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表 x 与 y 之间的关系呢？ 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 x y 散点图 施化肥量 水稻产量 2021/2/15 8 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 · · · · · · · x y 施化肥量 水稻产量 2021/2/15 9 探究 对于一组具有线性相关关系的数据 我们知道其 回归方程的截距和斜率 的 最小二乘估计公式 分别为： 称为样本点的中心。 你能推导出这个公式吗？ 2021/2/15 10 假设我们已经得到两个具有相关关系的变量的一组数据 且回归方程是： y=bx+a, ^ 其中， a,b 是待定参数。 当变量 x 取 时 它与实际收集到的 之间的 偏差 是 o x y 2021/2/15 11 易知，截距 和斜率 分别是使 取 最小值 时 的值。由于 2021/2/15 12 这正是我们所要推导的公式。 在上式中，后两项和 无关，而前两项为非负数，因此要使 Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为 0 ，即有 2021/2/15 13 1 、所求直线方程叫做 回归直线方程 ； 相应的直线叫做 回归直线 。 2 、对两个变量进行的线性分析叫做 线性回归分析 。 1 、回归直线方程 2021/2/15 14 最小二乘法： 称为样本点的中心 。 2021/2/15 15 2 、求回归直线方程的步骤： （ 3 ）代入公式 （ 4 ）写出直线方程为 y=bx+a, 即为所求的回归直线方程。 ^ 2021/2/15 16 例 1 、观察两相关量得如下数据 : x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 求两变量间的回归方程 . 解：列表： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y i -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 x i y i 9 14 15 12 5 5 15 12 14 9 2021/2/15 17 所求回归直线方程为 2021/2/15 18 例 2 ：已知 10 只狗的血球体积及血球的测量值如下： x 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 5.90 9.49 9.20 6.55 8.72 x( 血球体积 ,mm), y( 血球数，百万 ) （ 1 ）画出上表的散点图； （ 2 ）求出回归直线并且画出图形； （ 3 ）回归直线必经过的一点是哪一点？ 2021/2/15 19 3 、利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验 例 3 、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握 钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y （从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示： （白色解读 106 页例 2 ） x （ 0.01% ） 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y （ min ） 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 （ 1 ） y 与 x 是否具有线性相关关系； （ 2 ）如果具有线性相关关系，求回归直线方程； （ 3 ）预测当钢水含碳量为 160 个 0.01% 时，应冶炼多少分钟？ 2021/2/15 20 (1) 列出下表 , 并计算 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i 10400 36000 39900 32745 22785 18090 25500 39155 47940 15125 2021/2/15 21 所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51 (3) 当 x=160 时 , 1.267.160-30.51=172 (2) 设所求的回归方程为 2021/2/15 22 例题 4 从某大学中随机选出 8 名女大学生，其身高和体重数据如下表 ：（白色解读 109 页例 9 ） 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172 ｃｍ的女大学生的体重。　 2021/2/15 23 分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量． 2. 回归方程： 1. 散点图； 2021/2/15 24 相关系数 ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常， r>0.75 ，认为两个变量有很强的相关性． 本例中 , 由上面公式 r=0.798>0.75 ． 2021/2/15 25 探究？ 身高为 172 ｃｍ 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗？如果不是 , 其原因是什么 ? 2021/2/15 26 如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？ 在 《 数学 3》 中，我们学习了用相关系数 r 来衡量两个变量 之间线性相关关系的方法。 相关系数 r 2021/2/15 27 相关关系的测度 （相关系数取值及其意义） -1.0 +1.0 0 -0.5 +0.5 完全负相关 无线性相关 完全正相关 负相关程度增加 r 正相关程度增加