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- 2021-07-01 发布
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专题07高考数学仿真押题试卷(七)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则
A. B. C., D.,
【解析】解:集合,
集合,
,.
【答案】.
2.复数的共轭复数为
A. B. C. D.
【解析】解:复数,故它的共轭复数为,
【答案】.
3.设,,为正数,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16
【解析】解:,,为正数,
当,,时,满足,但不成立,即充分性不成立,
若,则,即,
即,即,成立,即必要性成立,
则“”是“”的必要不充分条件,
【答案】.
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,弧田是中国古算名,即圆弓形,最早的文字记载见于《九章算术方田章》.如图所示,正方形中阴影部分为两个弧田,每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点,半径均为该正方形的边长,则在该正方形内随机取一点,此点取自两个弧田部分的概率为
A. B. C. D.
【解析】解:设正方形的边长为1,则其面积为1,
,
故在该正方形内随机取一点,此点取自两个弧田部分的概率为,
【答案】.
5.已知为等差数列的前项和,若,则
A. B. C. D.
【解析】解:由等差数列的性质可得:,解得.
【答案】.
6.已知,为双曲线的左、右焦点,为其渐近线上一点,轴,且,则双曲线的离心率为
16
A. B. C. D.
【解析】解:轴,可得的横坐标为,
由双曲线的渐近线方程,
可设的纵坐标为,
由,可得,
即,
即有.
【答案】.
7.执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的的值为4,第二次输入的的值为5,记第一次输出的的值为,第二次输出的的值为,则
A.0 B. C.1 D.2
【解析】解:当输入的值为4时,,
第一次,不满足,不满足能被整数,故输出;
当输入的值为5时,
第一次,不满足,也不满足能被整数,故;
第二次,满足,故输出;
即第一次输出的的值为的值为0,第二次输出的的值为的值为1,则.
【答案】.
16
8.如图在直角坐标系中,过坐标原点作曲线的切线,切点为,过点分别作,轴的垂线垂足分别为,,向矩形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为
A. B. C. D.
【解析】解:设,,
由,
则以点为切点过原点的切线方程为:,
又此切线过点,求得:,即,
以点为切点过原点的切线方程为:
由定积分的几何意义得:,
设“向矩形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分”为事件,
由几何概型的面积型可得:
(A),
【答案】.
16
9.已知,是不重合的平面,,是不重合的直线,则的一个充分条件是
A., B.,
C.,, D.,,
【解析】解:当,时,,
当时,,即充分性成立,
即的一个充分条件是,
【答案】.
10.已知双曲线的左焦点为,,点的坐标为,点为双曲线右支上的动点,且周长的最小值为8,则双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.
【解析】解:由,三角形的周长的最小值为8,
可得的最小值为5,
又为双曲线的右焦点,可得,
当,,三点共线时,取得最小值,且为,
即有,即,,
16
可得.
【答案】.
11.各项均为正数的等比数列的前项和为,若,,则的最小值为
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】解:各项均为正数的等比数列的公比设为,,
若,,则,,
解得,,
可得,
,
则
,
当且仅当时,上式取得等号.
则的最小值为8.
【答案】.
12.中,,,,中,,则的取值范围
A. B., C. D.
【解析】解:以为底边作等腰三角形,使得,
16
以为圆心,以为半径作圆,则由圆的性质可知的轨迹为劣弧(不含端点),
过作,则为的中点,,,
,,即圆的半径为2.
(1)若,在异侧,显然当,,三点共线时,取得最小值.
,的最小值为.
(2)若,在同侧,则当,,三点共线时,取得最大值.
此时,的最大值为.
【答案】.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知复数,,若为纯虚数,则 1 .
【解析】解:是纯虚数,
,即.
,
则.
故答案为:1.
14.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上,若,,则球的表面积为 .
【解析】解:如图,
16
取中点,连接,可得,
设等边三角形的中心为,则,
,设三棱锥的外接球的半径为,
则,即,
解得.
球的表面积为.
故答案为:.
15.在平面直角坐标系中,定义两点,,,间的折线距离为.已知点,,,则的取值范围是 .
【解析】解:,则.
故答案为:.
16.已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,,抛物线在,两点处的切线分别是,,且,相交于点,则的最小值是 .
【解析】解:设直线的方程为:,,,,.
联立,化为:,
可得:,,
.
16
对两边求导可得:,
可得切线的方程为:,
切线的方程为:,
联立解得:,..
.
,
令.
则,
,
可得时,函数取得极小值即最小值(4).当且仅当时取等号.
故答案为:6.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中,已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,为的中点,求的长.
【解析】解:(Ⅰ)且,
,
则;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
16
由正弦定理得,即,解得,
在中,,
所以.
18.设数列的前项和为,已知,.
(1)设,证明数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
【解析】解:(1)由,及,
得,,所以.
由,①
则当时,有,②
①②得,所以,
又,所以,所以是以为首项、以2为公比的等比数列.
(2)由可得,等式两边同时除以,得.
所以数列是首项为,公差为的等差数列.
所以,即.
19.已知椭圆,的离心率为,其中左焦点.
(Ⅰ)求出椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与曲线交于不同的、两点,且线段的中点在曲线上,求的值.
【解析】解:(Ⅰ)由题意得,,,解得:,,
所以椭圆的方程为:.
16
(Ⅱ)设点,的坐标分别为,,,,线段的中点为,,
由,消去得,
由△,解得,
所以,,
因为点,在曲线上,
所以,即
20.已知函数.
(1)当时,求曲线在,处的切线方程;
(2)求函数的单调区间.
【解析】解:当时,,则.
又,,
所以在,处的切线方程为,即;
(2)由函数,得:.
当时,,
又函数的定义域为,
所以的单调递减区间为,.
当时,令,即,解得,
当时,,
所以,随的变化情况如下表
1
无定义
0
16
减函数
减函数
极小值
增函数
所以的单调递减区间为,,
单调递增区间为,
当时,,
所以所以,随的变化情况如下表
1
0
无定义
增函数
极大值
减函数
减函数
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为,.
21.袋中装有黑色球和白色球共7个,从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后终止.每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的,用表示摸球终止时所需摸球的次数.
(1)求随机变量的分布列和均值;
(2)求甲摸到白色球的概率.
【解析】解:设袋中白色球共有个,且,则依题意知,
所以,即,解得舍去).
(1)袋中的7个球,3白4黑,随机变量的所有可能取值是1,2,3,4,5.
,,,
,
.随机变量的分布列为
16
1
2
3
4
5
所以.
(2)记事件为“甲摸到白色球”,则事件包括以下三个互斥事件:
“甲第1次摸球时摸出白色球”;
“甲第2次摸球时摸出白色球”;
“甲第3次摸球时摸出白色球”.
依题意知,,,,
所以甲摸到白色球的概率为(A).
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题目计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点、,若点的坐标为,求.
【解析】解:(1)由,,,
圆的极坐标方程为,即为
,即为;
(2)将的参数方程代入圆的方程可得,
,
即有,
16
判别式为,设,为方程的两实根,
即有,,
则,均为正数,
又直线经过点,
由的几何意义可得,
.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
【解析】解:(1)当时,,
由,
或,
解得,
故不等式的解集为,,
(2)当时不等式成立,
,
即,
即,
,
,
,
,
16
,
,
,
故的取值范围为,.
16
16