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  • 2021-07-01 发布

专题09 等差数列与等比数列-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点

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专题09 等差数列与等比数列 ‎2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点 ‎1.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于(  )‎ A.100B.99C.98D.97‎ 答案 C 解析 由等差数列性质,知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1,‎ ‎∴a100=a10+90d=98,故选C.‎ ‎2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为(  )‎ A.6 B.7‎ C.12 D.13‎ 答案 C 解析 ∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,‎ ‎∴S12>0,S13<0,‎ ‎∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.‎ ‎3.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b12等于(  )‎ A.1 B.2‎ C.4 D.8‎ 答案 C 解析 设等差数列{an}的公差为d,因为a4-2a+3a8=0,所以a7-3d-2a+3(a7+d)=0,即a=2a7,解得a7=0(舍去)或a7=2,所以b7=a7=2.因为数列{bn}是等比数列,所以b2b12=b=4.‎ ‎4.已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A ‎5.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:‎ ‎①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=;④f(x)=ln|x|.‎ 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(  )‎ A.①② B.③④‎ C.①③ D.②④‎ 答案 C 解析 等比数列性质,anan+2=a,‎ ‎①f(an)f(an+2)=aa=(a)2=f2(an+1);‎ ‎③f(an)f(an+2)===f2(an+1);‎ ‎④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠(ln|an+1|)2=f2(an+1).故选C.‎ ‎6.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________.‎ 答案 6‎ 解析 ∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0.‎ 又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.‎ ‎∴S6=6×6+×(-2)=6.‎ ‎7.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.‎ 答案 20‎ 解析 设等差数列{an}公差为d,由题意可得:‎ 解得 则a9=a1+8d=-4+8×3=20.‎ ‎8.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为__________.‎ 答案 64‎ 解析 设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∴⇒解得 ‎∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)‎ ‎∵n∈N*,‎ ‎∴当n=3或4时,取到最小值-6,‎ 此时取到最大值26=64,‎ ‎∴a1a2…an的最大值为64.‎ ‎9.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.‎ 答案 50‎ 解析 ∵数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,‎ ‎∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)‎ ‎=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.‎ ‎10.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1= (n∈N*),则b2015=________.‎ 答案  解析 ∵an+bn=1,且bn+1=,‎ ‎∴bn+1=,∵a1=,且a1+b1=1,‎ ‎∴b1=,∵bn+1=,∴-=-1.‎ 又∵b1=,∴=-2.‎ ‎∴数列是以-2为首项,-1为公差的等差数列,∴=-n-1,∴bn=.‎ 则b2015=.‎ 易错起源1、等差数列、等比数列的运算 例1、(1)已知数列{an}中,a3=,a7=,且是等差数列,则a5等于(  )‎ A.B.C.D. ‎(2)已知等比数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,且a1+a7=9,a4=2,则S8等于(  )‎ A.15(1+) B.15 C.15 D.15(1+)或15(1+)‎ 答案 (1)B (2)D 解析 (1)设等差数列的公差为d,则=+4d,∴=+4d,解得d=2.‎ ‎∴=+2d=10,解得a5=.‎ ‎(2)由a4=2,得a1a7=a=8,故a1,a7是方程x2-9x+8=0的两根,所以或因为等比数列{an}的各项都为正数,所以公比q>0.当时q==,所以S8==15(1+);‎ 当时,q==,所以S8==15.故选D.‎ ‎【变式探究】(1)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________,d=________.‎ ‎(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1+a2=1,a3+a4=2,则log2=________.‎ 答案 (1) -1 (2)1006‎ ‎【名师点睛】‎ 在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.通项公式 等差数列:an=a1+(n-1)d;‎ 等比数列:an=a1·qn-1.‎ ‎2.求和公式 等差数列:Sn==na1+d;‎ 等比数列:Sn==(q≠1).‎ ‎3.性质 若m+n=p+q,‎ 在等差数列中am+an=ap+aq;‎ 在等比数列中am·an=ap·aq.‎ 易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*),且满足an+Sn=2n+1.‎ ‎(1)求证:数列{an-2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求证:++…+<.‎ ‎ ‎ ‎(2)∵= ‎==-,‎ ‎∴++…+ ‎=(-)+(-)+…+(-)‎ ‎=-<.‎ ‎【变式探究】(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,则an=________.‎ ‎(2)已知数列{bn}的前n项和为Tn,若数列{bn}满足各项均为正项,并且以(bn,Tn) (n∈N*)为坐标的点都在曲线ay=x2+x+b (a为非零常数)上运动,则称数列{bn}为“抛物数列”.已知数列{bn}为“抛物数列”,则(  )‎ A.{bn}一定为等比数列 B.{bn}一定为等差数列 C.{bn}只从第二项起为等比数列 D.{bn}只从第二项起为等差数列 答案 (1)2n+1-3 (2)B 解析 (1)由已知可得an+1+3=2(an+3),‎ 又a1+3=4,‎ 故{an+3}是以4为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎∴an+3=4×2n-1,‎ ‎∴an=2n+1-3.‎ ‎(2)由已知条件可知,若数列{bn}为“抛物数列”,设数列{bn}的前n项和为Tn,则数列{bn}满足各项均为正项,并且以(bn,Tn)(n∈N*)为坐标的点都在曲线ay=x2+x+b (a为非零常数)上运动,即aTn=·b+·bn+b,当n=1时,aT1=·b+·b1+b⇒ab1=·b+·b1+b⇒·b-·b1+b=0⇒a·b-a·b1+2b=0,‎ 即b1=;‎ 当n≥2时,由aTn=·b+·bn+b,‎ 及aTn-1=·b+·bn-1+b,‎ 两式相减得 a·bn=·(b-b)+·(bn-bn-1)‎ ‎⇒·(b-b)-·(bn+bn-1)=0,‎ 由各项均为正项,可得bn-bn-1=1(n≥2),‎ 由等差数列的定义可知{bn}一定为等差数列.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎  (1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法.‎ ‎(2)=q和a=an-1an+1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 ‎(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:‎ ‎①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;‎ ‎②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).‎ ‎(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法:‎ ‎①利用定义,证明(n∈N*)为一常数;‎ ‎②利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2).‎ 易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题 例3、已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn;‎ ‎(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn,若存在m∈N*,使对任意n∈N*,总有Sn6.即实数λ的取值范围为(6,+∞).‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-1=3(an-1),n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{bn}满足若bn≤t对于任意正整数n都成立,求实数t的取值范围.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便.‎ ‎(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.‎ ‎(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数列的值域求解.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解.‎ ‎1.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为(  )‎ A.20 B.22‎ C.24 D.28‎ 答案 C 解析 由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,∵a8+a12=2a10,‎ ‎∴2a10-a12=a8=24.‎ ‎2.已知在等差数列{an}中,a1=120,d=-4,若Sn≤an (n≥2),则n的最小值为(  )‎ A.60 B.62‎ C.70 D.72‎ 答案 B 解析 由题意可知,Sn=na1+d=-2n2+122n,an=a1+(n-1)d=124-4n,由Sn≤an得-2n2+126n≤124,解得n≤1或n≥62,又n≥2,∴n≥62,故选B.‎ ‎3.在等比数列{an}中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于(  )‎ A.2 B.-2‎ C.3 D.-3‎ 答案 C 解析 由题意可得q≠1,由数列{Sn+2}是等比数列,可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,所以(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),所以(6+4q)2=24(1+q+q2)+12,‎ ‎∴q=3(q=0舍去).故选C.‎ ‎4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)(  )‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案 B 解析 设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12=≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2019年.故选B.‎ ‎5.函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n) (n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C.(2,3) D.(1,3)‎ 答案 C 解析 因为an=f(n) (n∈N*),{an}是递增数列,‎ 所以函数f(x)=为增函数需满足三个条件解不等式组得实数a的取值范围是(2,3),故选C.‎ ‎6.若数列{n(n+4)n}中的最大项是第k项,则k=________.‎ 答案 4‎ 解析 设最大项为第k项,则有 ‎∴⇒故k=4.‎ ‎7.数列{an}中,a1=2,a2=3,an= (n∈N*,n≥3),则a2017=________.‎ 答案 2‎ 解析 因为a1=2,a2=3,所以a3==,a4===,a5===,a6==,a7==2,a8==3,…,所以数列{an}是以6为周期的周期数列,‎ 所以a2017=a336×6+1=a1=2.‎ ‎8.已知数列{an}的首项为a1=2,且an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),记Sn为数列{an}的前n 项和,则Sn=________,an=________.‎ 答案 2×n-1  ‎9.已知数列{an}是等比数列,并且a1,a2+1,a3是公差为-3的等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=a2n,记Sn为数列{bn}的前n项和,证明:Sn<.‎ ‎(1)解 设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为a1,a2+1,a3是公差为-3的等差数列,‎ 所以 即解得a1=8,q=.‎ 所以an=a1qn-1=8×()n-1=24-n.‎ ‎(2)证明 因为==,‎ 所以数列{bn}是以b1=a2=4为首项,为公比的等比数列.‎ 所以Sn==·1-()n]<.‎ ‎10.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)可得=,‎ 所以Tn=++…+==1-.‎ 由|Tn-1|<,得<,‎ 即2n>1000,‎ 因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10,‎ 于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.‎