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- 2021-07-01 发布
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专题09 等差数列与等比数列
2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点
1.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于( )
A.100B.99C.98D.97
答案 C
解析 由等差数列性质,知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1,
∴a100=a10+90d=98,故选C.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A.6 B.7
C.12 D.13
答案 C
解析 ∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,
∴S12>0,S13<0,
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
3.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b12等于( )
A.1 B.2
C.4 D.8
答案 C
解析 设等差数列{an}的公差为d,因为a4-2a+3a8=0,所以a7-3d-2a+3(a7+d)=0,即a=2a7,解得a7=0(舍去)或a7=2,所以b7=a7=2.因为数列{bn}是等比数列,所以b2b12=b=4.
4.已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
5.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:
①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=;④f(x)=ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②④
答案 C
解析 等比数列性质,anan+2=a,
①f(an)f(an+2)=aa=(a)2=f2(an+1);
③f(an)f(an+2)===f2(an+1);
④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠(ln|an+1|)2=f2(an+1).故选C.
6.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________.
答案 6
解析 ∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0.
又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.
∴S6=6×6+×(-2)=6.
7.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.
答案 20
解析 设等差数列{an}公差为d,由题意可得:
解得
则a9=a1+8d=-4+8×3=20.
8.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为__________.
答案 64
解析 设等比数列{an}的公比为q,
∴⇒解得
∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)
∵n∈N*,
∴当n=3或4时,取到最小值-6,
此时取到最大值26=64,
∴a1a2…an的最大值为64.
9.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
答案 50
解析 ∵数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,
∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)
=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.
10.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1= (n∈N*),则b2015=________.
答案
解析 ∵an+bn=1,且bn+1=,
∴bn+1=,∵a1=,且a1+b1=1,
∴b1=,∵bn+1=,∴-=-1.
又∵b1=,∴=-2.
∴数列是以-2为首项,-1为公差的等差数列,∴=-n-1,∴bn=.
则b2015=.
易错起源1、等差数列、等比数列的运算
例1、(1)已知数列{an}中,a3=,a7=,且是等差数列,则a5等于( )
A.B.C.D.
(2)已知等比数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,且a1+a7=9,a4=2,则S8等于( )
A.15(1+) B.15
C.15 D.15(1+)或15(1+)
答案 (1)B (2)D
解析 (1)设等差数列的公差为d,则=+4d,∴=+4d,解得d=2.
∴=+2d=10,解得a5=.
(2)由a4=2,得a1a7=a=8,故a1,a7是方程x2-9x+8=0的两根,所以或因为等比数列{an}的各项都为正数,所以公比q>0.当时q==,所以S8==15(1+);
当时,q==,所以S8==15.故选D.
【变式探究】(1)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________,d=________.
(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1+a2=1,a3+a4=2,则log2=________.
答案 (1) -1 (2)1006
【名师点睛】
在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.通项公式
等差数列:an=a1+(n-1)d;
等比数列:an=a1·qn-1.
2.求和公式
等差数列:Sn==na1+d;
等比数列:Sn==(q≠1).
3.性质
若m+n=p+q,
在等差数列中am+an=ap+aq;
在等比数列中am·an=ap·aq.
易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*),且满足an+Sn=2n+1.
(1)求证:数列{an-2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求证:++…+<.
(2)∵=
==-,
∴++…+
=(-)+(-)+…+(-)
=-<.
【变式探究】(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,则an=________.
(2)已知数列{bn}的前n项和为Tn,若数列{bn}满足各项均为正项,并且以(bn,Tn) (n∈N*)为坐标的点都在曲线ay=x2+x+b (a为非零常数)上运动,则称数列{bn}为“抛物数列”.已知数列{bn}为“抛物数列”,则( )
A.{bn}一定为等比数列
B.{bn}一定为等差数列
C.{bn}只从第二项起为等比数列
D.{bn}只从第二项起为等差数列
答案 (1)2n+1-3 (2)B
解析 (1)由已知可得an+1+3=2(an+3),
又a1+3=4,
故{an+3}是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴an+3=4×2n-1,
∴an=2n+1-3.
(2)由已知条件可知,若数列{bn}为“抛物数列”,设数列{bn}的前n项和为Tn,则数列{bn}满足各项均为正项,并且以(bn,Tn)(n∈N*)为坐标的点都在曲线ay=x2+x+b (a为非零常数)上运动,即aTn=·b+·bn+b,当n=1时,aT1=·b+·b1+b⇒ab1=·b+·b1+b⇒·b-·b1+b=0⇒a·b-a·b1+2b=0,
即b1=;
当n≥2时,由aTn=·b+·bn+b,
及aTn-1=·b+·bn-1+b,
两式相减得
a·bn=·(b-b)+·(bn-bn-1)
⇒·(b-b)-·(bn+bn-1)=0,
由各项均为正项,可得bn-bn-1=1(n≥2),
由等差数列的定义可知{bn}一定为等差数列.
【名师点睛】
(1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法.
(2)=q和a=an-1an+1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零.
【锦囊妙计,战胜自我】
数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:
①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;
②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法:
①利用定义,证明(n∈N*)为一常数;
②利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2).
易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题
例3、已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn;
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn,若存在m∈N*,使对任意n∈N*,总有Sn6.即实数λ的取值范围为(6,+∞).
【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-1=3(an-1),n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足若bn≤t对于任意正整数n都成立,求实数t的取值范围.
【名师点睛】
(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便.
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.
(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数列的值域求解.
【锦囊妙计,战胜自我】
解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解.
1.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为( )
A.20 B.22
C.24 D.28
答案 C
解析 由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,∵a8+a12=2a10,
∴2a10-a12=a8=24.
2.已知在等差数列{an}中,a1=120,d=-4,若Sn≤an (n≥2),则n的最小值为( )
A.60 B.62
C.70 D.72
答案 B
解析 由题意可知,Sn=na1+d=-2n2+122n,an=a1+(n-1)d=124-4n,由Sn≤an得-2n2+126n≤124,解得n≤1或n≥62,又n≥2,∴n≥62,故选B.
3.在等比数列{an}中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于( )
A.2 B.-2
C.3 D.-3
答案 C
解析 由题意可得q≠1,由数列{Sn+2}是等比数列,可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,所以(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),所以(6+4q)2=24(1+q+q2)+12,
∴q=3(q=0舍去).故选C.
4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
答案 B
解析 设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12=≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2019年.故选B.
5.函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n) (n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(2,3) D.(1,3)
答案 C
解析 因为an=f(n) (n∈N*),{an}是递增数列,
所以函数f(x)=为增函数需满足三个条件解不等式组得实数a的取值范围是(2,3),故选C.
6.若数列{n(n+4)n}中的最大项是第k项,则k=________.
答案 4
解析 设最大项为第k项,则有
∴⇒故k=4.
7.数列{an}中,a1=2,a2=3,an= (n∈N*,n≥3),则a2017=________.
答案 2
解析 因为a1=2,a2=3,所以a3==,a4===,a5===,a6==,a7==2,a8==3,…,所以数列{an}是以6为周期的周期数列,
所以a2017=a336×6+1=a1=2.
8.已知数列{an}的首项为a1=2,且an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),记Sn为数列{an}的前n
项和,则Sn=________,an=________.
答案 2×n-1
9.已知数列{an}是等比数列,并且a1,a2+1,a3是公差为-3的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=a2n,记Sn为数列{bn}的前n项和,证明:Sn<.
(1)解 设等比数列{an}的公比为q,
因为a1,a2+1,a3是公差为-3的等差数列,
所以
即解得a1=8,q=.
所以an=a1qn-1=8×()n-1=24-n.
(2)证明 因为==,
所以数列{bn}是以b1=a2=4为首项,为公比的等比数列.
所以Sn==·1-()n]<.
10.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.
(2)由(1)可得=,
所以Tn=++…+==1-.
由|Tn-1|<,得<,
即2n>1000,
因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10,
于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.