2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练47 抛物线 8页

课时分层训练(四十七)　抛物线 ‎(对应学生用书第219页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)‎ A．(0,2)　 B．(0,1)‎ C．(2,0) D．(1,0)‎ D　[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]‎ ‎2．(2018·佛山模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为(　　)‎ ‎ 【导学号：79170309】‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ B　[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3.]‎ ‎3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ C　[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，‎ 由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，‎ 代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，‎ 所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.]‎ ‎4．(2018·岳阳模拟)若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于(　　)‎ A．5p B．10p C．11p D．12p B　[将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p，‎ ‎∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p，故选B．]‎ ‎5．(2018·汕头模拟)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．＋1‎ A　[由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，∴N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.故选A．‎ ‎]‎ 二、填空题 ‎6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________. 【导学号：79170310】‎ ‎6　[在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，‎ 所以B.‎ 又因为点B在双曲线上，‎ 故－＝1，解得p＝6.]‎ ‎7．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．‎ x2＝3y　[设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，‎ 所以＝＝3，即a＝3，‎ 因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]‎ ‎8．如图871是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．‎ 图871‎ ‎2　[由题意，可设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．‎ ‎∵点(2，－2)在抛物线上，‎ ‎∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y.‎ 当y＝－3时，x＝±.‎ ‎∴水位下降1米后，水面宽为2米．]‎ 三、解答题 ‎9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. ‎ ‎【导学号：79170311】‎ ‎[解]　由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．‎ 设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，‎ 且AN＝. 3分 ‎∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，‎ ‎∴N(，±2). 6分 ‎∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，‎ 故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y. 8分 抛物线x2＝y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝－. 10分 抛物线x2＝－y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝. 12分 ‎10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1