内蒙古呼和浩特市开来中学2019-2020学年高二第一学期期末考试数学（理）试卷 12页

高二数学（理）试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ ‎ ‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.设命题，则为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.在中，已知三边满足，则C等于     （ ）‎ A.15°      B.30°     C.45°     D.60°‎ ‎3.椭圆与双曲线有相同的焦点，则m的值是( )‎ A. B.1 C.-1 D.不存在 ‎4在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若,,则∠B=(   )‎ A.90°    B.60°     C.45°     D.30°‎ ‎5.在数列中, ,则的值是(   )‎ A.52      B.51      C.50       D.49‎ ‎6.对于常数 ,,“”是“方程表示的曲线是椭圆”的(   )‎ A.充分不必要条件              B.必要不充分条件 C.充分必要条件               D.既不充分也不必要条件 ‎7.数列的前项和为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.在棱长为1的正方体中, ,分别为和的中点,那么直线与所成角的余弦值是(    ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图，已知点及抛物线上的动点，则的最小值是( )‎ ‎ A.2 B.3 C.4 D.‎ ‎11.设,则“”是“”的(      )‎ ‎ A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件 C.充要必要条件   D.既不充分也不必要条件 12. 已知二面角为 ,动点、分别在面、内, 到的距离为, ‎ ‎ 到的距离为,则、两点之间距离的最小值为(    )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知实数满足则的最小值是______________.‎ ‎14.设命题；命题对任何，都有.若命题为假命题，为真命题，则实数a的取值范围是_______________.‎ ‎15.已知抛物线，以点为中点的抛物线的弦，则弦所在直线方程___________.‎ ‎16.椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦 ‎ ‎ 点，若直线与直线的交点恰在直线上，则椭圆的离心率为_________.‎ 三、解答题（17题10分，18--22题，每题12分，共70分）‎ ‎17.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处,且与岛屿A相距海里,渔船乙以海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用小时追上,此时到达处.‎ ‎ ‎ ‎(1).求渔船甲的速度; (2).求的值.‎ ‎18.已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点．‎ ‎(1).求双曲线的方程；‎ ‎(2).经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求 的长。‎ ‎19.如图,四面体中, 、分别的中点, . (1)..求证: 平面; (2)求异面直线与所成角的余弦值; ‎ ‎20.已知数列是等比数列, ,是和的等差中项.‎ ‎(1).求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和 ‎21.设命题实数x满足,其中；命题实数x满足.‎ ‎(1).若,且为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎22.如图, 四棱柱中, 侧棱底面, , , , , 为棱的中点.‎ (1) ‎.证明; (2)求二面角的正弦值;‎ ‎(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段 的长.‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.答案：C 解析：全称命题的否定为特称命题，所以为，.故选C ‎2.答案：D 解析：由，得 ∴，∴　‎ ‎，故选D。 考点：本题主要考查余弦定理、代数式恒等变形。 点评：基本题型，从出发，变换出，便于应用余弦定理。‎ ‎3.答案：A 解析：验证法：当时，，对椭圆来说，.对双曲线来说，，故当时，它们有相同的焦点.‎ 直接法：显然双曲线的焦点在x轴上，故，则，即.‎ ‎4.答案： C 解析： ‎ 由正弦定理可知 所以.‎ ‎∴‎ 解得,因此 ‎5.答案：A 解析：‎ ‎∵,‎ ‎∴.即.‎ ‎∴是以为公差的等差数列.‎ ‎.‎ ‎6.答案：B ‎7.答案：B 解析：‎ ‎8.答案：B 解析：由题意得,知,又,有,从而可得,故选B.‎ ‎9.答案：D 解析：‎ ‎10.答案：A 解析：如图所示，过点作垂直准线于点，则由抛物线的定义可知，当且仅当三点共线时，最小，最小值为，则的最小值为.‎ ‎11.答案：A 解析：由,得,即或, ∴,而. ‎ ‎12.答案：C 二、填空题 ‎13.答案：1‎ 解析：设表示可行域中的点到的距离的平方与的差,画出可行域,可知到直线的距离的平方最小,则的最小值为.‎ ‎14.答案：‎ 解析：由得，∴；由恒成立知，解得.∴.∵为假命题，为真命题，∴p与q一个为真命题一个为假命题.当p为假命题q为真命题时，；当p为真命题q为假命题时，.∴实数a的取值范围是 ‎15.答案：y=2x-7‎ ‎16.答案：1/2‎ 三、解答题 ‎17.答案：(1).依题意知, (海里)‎ ‎ (海里), ,‎ 在中,由余弦定理得 ‎,‎ 解得,‎ ‎∴渔船甲的速度为 (海里/时) (2).在中, (海里), ,‎ ‎ (海里), ,‎ 由正弦定理,得,‎ ‎∴. ‎ 解析：‎ ‎18.答案：(1).∵双曲线的离心率为，‎ 点是双曲线的一个顶点，‎ ‎∴解得，‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ ‎(2).双曲线的右焦点为，‎ ‎∴经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为 联立,得.‎ 设，‎ 则.‎ 所以 ‎ 解析： ‎ ‎19.答案：1.证明:连结 . ∵. ∵. 在中,由已知可得, 而, ∴, 即. ∵, ∴平面 2.方法一:取的中点,连结,由为的中点知,‎ ‎. ∴直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角. 在中, , ∵是直角斜边上的中线, ∴, ∴,即异面直线与所成角的余弦值为. 方法二:以为原点,以OB为x轴，建立空间直角坐标系,则, ∴ ∴异面直线与所成角的余弦值为 ‎20.答案：1.设数列的公比为,因为,所以,‎ 因为,是和的等差中项,所以 即,化简得.‎ 因为公比,所以 所以 2.因为,所以.所以,‎ 则,①.②‎ ‎①-②得,      ,‎ 所以 解析：‎ ‎21.答案：1.由，得，‎ 即p为真命题时，.‎ 由得即.‎ 即q为真命题时，.‎ 时，.‎ 由为真，知均为真命题，则得.‎ 所以实数x的取值范围为.‎ ‎2.设.‎ 由题意知p是q的必要不充分条件，所以.‎ 则解得.‎ 所以实数a的取值范围为.‎ 解析：‎ ‎22.答案：1.如图,以点为原点建立空间直角坐标系,依题意得,,,,,.‎ 证明:易得,,‎ 于是,所以.‎ ‎ 2. .设平面的法向量为,‎ 则即, 消去,得,不妨令,可得一个法向量为.‎ 由1问知, ,又,可得平面,故为平面的一个法向量.‎ 于是,从而,‎ 所以二面角的正弦值为. 3. ,,‎ 设,,‎ 有.‎ 可取为平面的一个法向量.‎ 设为直线与平面所成的角,‎ 则.‎ 于是,解得,所以.‎