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- 2021-07-01 发布
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试卷类型：A
肇庆市中小学教学质量评估
2018届高中毕业班第一次统一检测
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试
室号、座位号填写在答题卷上对应位置．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域
内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：
列联表随机变量. 与k对应值表：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若集合，集合，则
A． B． C． D．
（2）设为虚数单位，复数，则的共轭复数
A． B． C． D．
（3）已知向量，若，则实数的值为
A． B．或 C．或 D．
（4）设复数满足为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（5）原命题：“设，若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．4
（6）执行右边的程序框图，为使输出的值小于，
则输入的正整数的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
（7）变量满足约束条件，则
的最小值等于
A． B． C． D．
（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为
A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7
（9）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高
（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，
根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性
相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
A. B. C. D.
（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A. B. C. D.
（11）四棱柱的所有棱长均为，且，则的长为
A． B． C． D．
（12）下列命题中正确的是
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B．将圆心角为，面积为的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为
C．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的值至多等于4
D．过两条异面直线外的一点，有且只有一个平面与这两条异面直线都平行
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）若随机变量ξ～N(2，1)，且P(ξ>3)＝0.1587，则P(ξ≥1)＝ ▲ .
（14）的展开式中的系数是 ▲ .（用数字作答）.
（15）由一个长方体和两个圆柱体构成
的几何体的三视图如右图，则该几
何体的体积为 ▲ .
（16）A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是 ▲ 元．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
40
50
60
70
80
90
满意度评分
O
100
0.005
0.015
0.025
0.035
频率/组距
0.010
0.020
0.030
0.040
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
频 数
2
8
14
10
6
（Ⅰ）求A地区用户满意度评分的众数和中位数；
（Ⅱ）填写下列的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为用户满意度与地区有关？
满意度评分的用户数
满意度评分的用户数
A地区
B地区
（18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥，，，是的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：平面平.
（19）（本小题满分12分）
某公司进行抽奖活动，某抽奖箱里有2张印有“中奖”的卡片和3张印有“谢谢惠顾”的卡片.现场员工小王进行抽奖，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回，假如小王一定要将2张印有“中奖”的卡片全部抽完才停止.
（Ⅰ）求小王恰好抽奖3次停止的概率；
（Ⅱ）若抽奖一次需要费用100元，设X表示小王停止抽奖前所需要的费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
（20）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，是边长为的菱形，且，， .
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小.
（21）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，，于点，，，为线段上的一点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的
正弦值为，求三棱锥的体积.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，
请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数，)，曲线的极坐标方程为：.
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程;
（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点, 若，求直线的斜率.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
肇庆市中小学教学质量评估
2018届高中毕业班第一次统一检测题
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
A
C
D
A
A
C
C
D
C
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 满意度评分的众数= （2分）
因为，所以满意度评分的中位数在之间，设中位数为，则，得 （5分）
（Ⅱ）
满意度评分的用户数
满意度评分的用户数
A地区
24
16
B地区
10
30
（9分）
， （11分）
所以有的把握认为用户满意度与地区有关. （12分）
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接. （1分）
在中，是中位线，所以， （2分）
又，所以， （3分）
所以四边形是平行四边形，所以. （4分）
又，所以. （6分）
（Ⅱ）因为，所以， （8分）
又因为，，都在内，
所以. （10分）
又，所以面. （12分）
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“小王恰好抽奖3次停止”为事件，则
. （4分）
（2）可取200，300，400，500 （5分）
，， （7分）
，. （9分）
的分布列如下表
X
200
300
400
500
P
（12分）
（20）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接. （1分）
因为，所以. （2分）
在菱形中，，
所以是等边三角形，所以. （3分）
又因为，所以. （5分）
因为，所以. （6分）
（Ⅱ）因为和是等边三角形，经计算，. （7分）
由（Ⅰ）知，是二面角的平面角， （8分）
， （11分）
所以二面角的余弦值为. （12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在中，，
，
由，得
，即. （1分）
又因为，，
所以，所以 （3分）
由，同理可得，又，所以. （4分）
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，. （5分）
设是面的一个法向量，
则即，方程组的一组解为，即 （7分）
设则，
即=，
（8分）
依题意有，得或（舍去） （10分）
则有，即三棱锥的高为， （11分）
. （12分）
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）， （1分）
由,得. （3分）
所以曲线的直角坐标方程为. （4分）
（Ⅱ）把 代入，整理得 （5分）
设其两根分别为 ，则 （6分）
（7分）
得，， （9分）
所以直线的斜率为. （10分）
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当时， ∴，∴； （1分）
当时，∴； （2分）
当时，∴，∴ （3分）
综上所述，，即不等式的解集为. （4分）
（Ⅱ）当时，， （5分）
，即，即. （6分）
也就是 ，在恒成立， （7分）
当时，取得最小值， （8分）
由，得，即m的取值范围是. （10分）
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