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- 2021-07-01 发布
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2016-2017学年福建省莆田二十五中高二(上)期中数学试卷(理科)
一.选择题:(共12小题,每小题5分,共60分).
1.如果a<b<0,那么( )
A.a﹣b>0 B.ac<bc C. D.a2<b2
2.等差数列{an}中,a3=7,a9=19,则a5为( )
A.13 B.12 C.11 D.10
3.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=( )
A. B.﹣2 C.2 D.
4.在△ABC中,若b=3,c=1,cosA=,则a=( )
A. B. C.8 D.12
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,C=120°,则△ABC的面积是( )
A.3 B. C.6 D.
6.等差数列{an}中,a1=7,a3=3,前n项和为Sn,则n=( )时,Sn取到最大值.
A.4或5 B.4 C.3 D.2
7.若ax2+x+a<0的解集为∅,则实数a取值范围( )
A.a≥ B.a< C.﹣≤a≤ D.a≤﹣或a≥
8.(5)若xy满足约束条件,则的取值范围为( )
A.[﹣,] B.[﹣,1] C.(﹣∞,﹣]∪[,+∞) D.(﹣∞,﹣]∪[1,+∞)
9.各项都是正数的等比数列{an},若a2, a3,2a1成等差数列,则的值为( )
A.2 B.2或﹣1 C. D.或﹣1
10.已知函数的值域为(﹣∞,0]∪[4,+∞),则a的值是( )
A. B. C.1 D.2
11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2=1,S4=3,则S6=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
12.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0 B.a7=0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分).
13.若x,y满足约束条件由约束条件围成的图形的面积 .
14.若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若a2:a3=5:2,则S3:S5= .
15.在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,若bcosC=ccosB成立,则△ABC是 三角形.
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.已知集合A={x|x2﹣5x﹣6<0},集合B={x|6x2﹣5x+1≥0},集合C={x|(x﹣m)(x﹣m﹣9)<0}
(1)求A∩B;
(2)若A⊆C,求实数 m的取值范围.
18.等差数列{an}满足:a1=1,a2+a6=14;正项等比数列{bn}满足:b1=2,b3=8.
(Ⅰ) 求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
19.已知数列{an}的前n项和Sn,且Sn=2n2+3n;
(1)求它的通项an.
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知c=asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.
21.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{bn}的前n项和.
22.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2).
(1)求S关于x的函数关系式;
(2)求S的最大值,及此时长X的值.
2016-2017学年福建省莆田二十五中高二(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题:(共12小题,每小题5分,共60分).
1.如果a<b<0,那么( )
A.a﹣b>0 B.ac<bc C. D.a2<b2
【考点】不等关系与不等式.
【分析】根据a<b<0,给a,b,c赋予特殊值,即a=﹣2,b=﹣1,c=0,代入即可判定选项真假.
【解答】解:∵a<b<0,给a,b,c赋予特殊值,即a=﹣2,b=﹣1,c=0
选项A、B、D都不正确
故选C.
2.等差数列{an}中,a3=7,a9=19,则a5为( )
A.13 B.12 C.11 D.10
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】根据公式a3=a1+2d=7,a9=a1+8d=19,可求a1,d,代入等差数列的通项公式可求.
【解答】解:根据公式a3=a1+2d=7,a9=a1+8d=19,
解方程得到
故a5=a1+4d=11,
故选C
3.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=( )
A. B.﹣2 C.2 D.
【考点】等比数列.
【分析】根据等比数列所给的两项,写出两者的关系,第五项等于第二项与公比的三次方的乘积,代入数字,求出公比的三次方,开方即可得到结果.
【解答】解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5=,
设出等比数列的公比是q,
∴a5=a2•q3,
∴==,
∴q=,
故选:D.
4.在△ABC中,若b=3,c=1,cosA=,则a=( )
A. B. C.8 D.12
【考点】余弦定理.
【分析】直接利用余弦定理即可计算求值得解.
【解答】解:∵b=3,c=1,cosA=,
∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×=8,解得:a=2.
故选:B.
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,C=120°,则△ABC的面积是( )
A.3 B. C.6 D.
【考点】正弦定理.
【分析】由a,b及sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
【解答】解:∵a=3,b=4,C=120°,
∴S△ABC=absinC=×3×4×=3.
故选B
6.等差数列{an}中,a1=7,a3=3,前n项和为Sn,则n=( )时,Sn取到最大值.
A.4或5 B.4 C.3 D.2
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由已知条件推导出d=﹣2,从而得到Sn=﹣n2+8n,由此利用配方法能求出n=4时,Sn取到最大值.
【解答】解:等差数列{an}中,
∵a1=7,a3=3,∴7+2d=3,解得d=﹣2,
∴Sn=7n+=﹣n2+8n=﹣(n2﹣8n)=﹣(n﹣4)2+16,
∴n=4时,Sn取到最大值.
故选:B.
7.若ax2+x+a<0的解集为∅,则实数a取值范围( )
A.a≥ B.a< C.﹣≤a≤ D.a≤﹣或a≥
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】理解题意,即该不等式无实解.
【解答】解:∵ax2+x+a<0的解集为∅,
∴a>0,△≤0,即a>0,1﹣4a2≤0,
解得a≥.
故选:A.
8.(5)若xy满足约束条件,则的取值范围为( )
A.[﹣,] B.[﹣,1] C.(﹣∞,﹣]∪[,+∞) D.(﹣∞,﹣]∪[1,+∞)
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,结合的几何意义,即可行域内的动点与定点P(1,﹣1)连线的斜率求得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,﹣1)连线的斜率,
∵,,
∴的取值范围为[].
故选:B.
9.各项都是正数的等比数列{an},若a2, a3,2a1成等差数列,则的值为( )
A.2 B.2或﹣1 C. D.或﹣1
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】设等比数列{an}的公比为q,由题意得q>0,根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值,利用等比数列的通项公式化简即可得答案.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,则q>0,
因为a2, a3,2a1成等差数列,
所以2×a3=a2+2a1,则,
即q2﹣q﹣2=0,解得q=2或q=﹣1(舍去),
所以===,
故选:C.
10.已知函数的值域为(﹣∞,0]∪[4,+∞),则a的值是( )
A. B. C.1 D.2
【考点】函数的值域.
【分析】利用勾勾函数的性质求解.,当x>0时,y的最小值为2,当x<0时,y的最大值为﹣2,可得答案.
【解答】解:由题意:函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),值域为(﹣∞,0]∪[4,+∞),
令,当x>0,a>0时,y的最小值2,
则当x>0,a>0时,的最小值为2+2,
由题意:,解得a=1.满足题意.
当x<0,a>0时,y的最大值为﹣2+2,
由题意:﹣2+2=﹣1,解得a=1.满足题意.
因此得a=1.
故选:C.
11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2=1,S4=3,则S6=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【考点】等比数列的性质.
【分析】由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,代入数据计算可得.
【解答】解:由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,
即1,3﹣1,S6﹣3成等比数列,
∴22=1×(S6﹣3),解得S6=7.
故选:B.
12.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0 B.a7=0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】利用结论:n≥2时,an=sn﹣sn﹣1,易推出a6>0,a7=0,a8<0,然后逐一分析各选项,排除错误答案.
【解答】解:由S5<S6得a1+a2+a3+…+a5<a1+a2++a5+a6,即a6>0,
又∵S6=S7,
∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,
∴a7=0,故B正确;
同理由S7>S8,得a8<0,
∵d=a7﹣a6<0,故A正确;
而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,显然C选项是错误的.
∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为Sn的最大值,故D正确;
故选C.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分).
13.若x,y满足约束条件由约束条件围成的图形的面积 .
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,求出三角形顶点的坐标,进一步求出|AB|,C到AB所在直线的距离,代入三角形面积公式得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,得A(﹣2,﹣1),
联立,得B(1,),
∴|AB|=.
又C(0,1)到直线x﹣2y=0的距离d=,
∴由约束条件围成的图形的面积S==.
故答案为:.
14.若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若a2:a3=5:2,则S3:S5= 3:2 .
【考点】等差数列的性质.
【分析】等差数列{an}中,由等差数列的通项公式表示出a2与a3,求出(a1+d)与(a1+2d)之比,再利用求和公式表示出S3与S5,利用比例的性质即可求出S3与S5比值.
【解答】解:∵a2=a1+d,a3=a1+2d,a2:a3=5:2,
∴(a1+d):(a1+2d)=5:2,
∵S3=3a1+d=3(a1+d),S5=5a1+d=5(a1+d),
则S3:S5=3(a1+d):5(a1+d)=15:10=3:2.
故答案为:3:2
15.在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,若bcosC=ccosB成立,则△ABC是 等腰 三角形.
【考点】正弦定理;两角和与差的余弦函数.
【分析】运用正弦定理,化简ccosB=bcosC,即sinCcosB=sinBcosC⇒sin(B﹣C)=0,B=C,推出三角形的形状.
【解答】解:∵bcosC=ccosB,
∴sinCcosB=sinBcosC,
∴sin(B﹣C)=0,
∴B=C,
∴三角形是等腰三角形.
故答案为:等腰.
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元.
【考点】简单线性规划的应用.
【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可;
【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.
由题意,得,z=2100x+900y.
不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),
目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.
故答案为:216000.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.已知集合A={x|x2﹣5x﹣6<0},集合B={x|6x2﹣5x+1≥0},集合C={x|(x﹣m)(x﹣m﹣9)<0}
(1)求A∩B;
(2)若A⊆C,求实数 m的取值范围.
【考点】集合的包含关系判断及应用;交集及其运算.
【分析】(1)由A={x|x2﹣5x﹣6<0}={x|﹣1<x<6},集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x≥,或x≤},能求出A∩B.
(2)由A⊆C,建立不等式组,能求出m的取值范围.
【解答】解:(1)∵A={x|x2﹣5x﹣6<0}={x|﹣1<x<6},
集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}={x|x≥,或x≤},
∴A∩B={x|﹣1<x≤,或≤x<6}.
(2)∵集合C={x|(x﹣m)(x﹣m﹣9)<0}={x|m<x<m+9},A⊆C,
∴,
解得﹣3≤m≤﹣1.
∴m的取值范围是{m|﹣3≤m≤﹣1}.
18.等差数列{an}满足:a1=1,a2+a6=14;正项等比数列{bn}满足:b1=2,b3=8.
(Ⅰ) 求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和.
【分析】(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(Ⅱ)由(I)有,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得解.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
∵a1=1,a2+a6=14;
∴2×1+6d=14,解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
设正项等比数列{bn}的公比为q>0,
∵b1=2,b3=8.
∴2q2=8,解得q=2.
∴bn=2×2n﹣1=2n.
因此数列{an},{bn}的通项公式.
(II)由(I)有,
两式相减,得=,
∴.
19.已知数列{an}的前n项和Sn,且Sn=2n2+3n;
(1)求它的通项an.
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等差数列的性质.
【分析】(1)由数列的通项和求和的关系:当n=1时,a1=S1,当n>1时,an=Sn﹣Sn﹣1,化简即可得到所求通项;
(2)求得bn===(﹣),再由数列的求和方法:裂项相消求和,化简整理即可得到所求和.
【解答】解:(1)由Sn=2n2+3n,
当n=1时,a1=S1=5;
当n>1时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2+3n﹣2(n﹣1)2﹣3(n﹣1)
=4n+1,对n=1也成立.
则通项an=4n+1;
(2)bn===(﹣),
即有前n项和Tn=(﹣+﹣+…+﹣)
=(﹣)=.
20.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知c=asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)由c=asinC﹣ccosA,由正弦定理可得:sinC=sinAsinC﹣sinCcosA,化为=,即可得出.
(2)由a=2,△ABC的面积为,可得bc=4.由余弦定理可得:,化为b+c=4.联立解出即可.
【解答】解:(1)∵△ABC中,c=asinC﹣ccosA,
由正弦定理可得:sinC=sinAsinC﹣sinCcosA,
∵sinC≠0,∴1=sinA﹣cosA=2,
即=,∵∈,
∴=,
∴A=.
(2)∵a=2,△ABC的面积为,
∴,化为bc=4.
由余弦定理可得:,
化为b+c=4.
联立,解得b=c=2.
∴b=c=2.
21.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{bn}的前n项和.
【考点】数列递推式.
【分析】(Ⅰ)令n=1,可得a1=2,结合{an}是公差为3的等差数列,可得{an}的通项公式;
(Ⅱ)由(1)可得:数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,进而可得:{bn}的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn.
当n=1时,a1b2+b2=b1.
∵b1=1,b2=,
∴a1=2,
又∵{an}是公差为3的等差数列,
∴an=3n﹣1,
(Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)bn+1+bn+1=nbn.
即3bn+1=bn.
即数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,
∴{bn}的前n项和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣.
22.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2).
(1)求S关于x的函数关系式;
(2)求S的最大值,及此时长X的值.
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)根据题意,室内面积为900m2的矩形,长为x(m),则宽为:,三块种植植物的矩形长度为x﹣8,则宽为,植植物的矩形区域的总面积为S=长×宽,可得S关于x的函数关系式.
(2)利用基本不等式的性质求解S的最大值以及长度x的值.
【解答】解:(1)由题意:室内面积为900m2的矩形,长为x(m),则宽为:,
三块种植植物的矩形长度为x﹣8,则宽为,
植物的矩形区域的总面积为S=,
(2)由(1)可得S=,
化简可得:S=916﹣(2x),
∵2x≥2=240,(当且仅当x=60时取等号)
∴Smax=916﹣240=676(m2)
此时长为x=60.
故得S的最大值676平方米,长度为60米.