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- 2021-07-01 发布
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专题26 一元二次不等式及其解法
【高频考点解读】
1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型。
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
【热点题型】
热点题型一 一元二次不等式的解法
例1、解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0。
②若a＝1，则＝1，所以不等式无解。
③若a>1，则<1，所以1}；
当01时，不等式的解集为。
【提分秘籍】
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系。
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。
【举一反三】
解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0。
热点题型二 一元二次不等式恒成立问题
例2、已知函数f(x)＝x2＋ax＋3。
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。
解析：(1)f(x)≥a即x2＋ax＋3－a≥0，要使x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
应有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2。
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a。
分以下三种情况讨论：
①当－≤－2，即a≥4时，g(x)在[－2,2]上单调递增，g(x)在[－2,2]上的最小值为g(－2)＝7－3a，因此a无解；
②当－≥2，即a≤－4时，g(x)在[－2,2]上单调递减，g(x)在[－2,2]上的最小值为g(2)＝7＋a，因此解得－7≤a≤－4；
③－2＜－＜2，即－4＜a＜4时，g(x)在[－2,2]上的最小值为g＝－－a＋3，
因此解得－4＜a≤2。
综上所述，实数a的取值范围是－7≤a≤2。
【提分秘籍】
恒成立问题及二次不等式恒成立的条件
(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数。一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。
(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。
【举一反三】
对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围。
热点题型三 一元二次不等式的实际应用
例3．某商品2016年的价格为8元/件，年销量是a件。现经销商计划在2017年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件。经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价为3元/件。
(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；
(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2017年的收益比2016年至少增长20%?
解析：(1)设该商品价格下降后为x元/件，
则由题意可知年销量增加到件，
故经销商的年收益y＝(x－3)，5.5≤x≤7.5。
(2)当k＝2a时，依题意有(x－3)≥(8－3)a×(1＋20%)，
化简得≥0，解得x≥6或44，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
4．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为
x<－1或x>，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
【答案】D
【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－10时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，选择D.
【答案】D
【高考冲刺】
1．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(1,2)∪(2,3)
解析：由题意知
即
故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)。
答案：D
3．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>lg2}
B．{x|－1－lg2}
D．{x|x<－lg2}
解析：由题意，得10x<－1，或10x>，
10x<－1无解；
由10x>，得x>lg，即x>－lg2。
答案：C
4．若x＝1满足不等式ax2＋2x＋1<0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(－3，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
5．已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )
解析：由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，顶点坐标为。
答案：B
6．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )
A．13 B．18
C．21 D．26
解析：设f(x)＝x2－6x＋a，其图象开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示。
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
则即
解得5＜a≤8，又a∈Z，a＝6,7,8。
则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21。
答案：C
7．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是__________。
8．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是__________。
解析：由题意知a＜0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，∴f(x)max＝f＝－＜1，
∴a＞－4，故－4＜a＜0。
答案：(－4,0)
9．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________。
解析：本题考查不等式恒成立问题及三角不等式的解法、半角公式等。
由题意知Δ＝64sin2α－32cos2α≤0，
∴2sin2α－cos2α≤0，
即1－cos2α－cos2α≤0，
∴cos2α≥，∴2kπ－≤2α≤2kπ＋，k∈Z。
∴kπ－≤α≤kπ＋，k∈Z。又α∈[0，π]，
∴α∈∪。
答案：∪
10．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，求k的取值范围。
解析：函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的对称轴为x＝－＝。
①当<－1，即k>6时，f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(k－4)×(－1)＋4－2k>0，解得k<3，故k∈∅；
②当－1≤≤1，即2≤k≤6时，
只要f＝2＋(k－4)×＋4－2k>0，即k2<0，故k∈∅。
③当>1，即k<2时，只要f(1)＝1＋(k－4)＋4－2k>0
即k<1，故有k<1，
综上可知，当k<1时，对任意x∈[－1,1]，
函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零。
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