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- 2021-07-01 发布
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高中新课标选修(1-2)推理与证明测试题
一 选择题(5×12=60分)
1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色的( )
A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大
2.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S)是9的倍数(M),故某奇数(S)是3的倍数(P).”上述推理是( )
A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错
3.F(n)是一个关于自然数n的命题,若F(k)(k∈N+)真,则F(k+1)真,现已知F(7)不真,则有:①F(8)不真;②F(8)真;③F(6)不真;④F(6)真;⑤F(5)不真;⑥F(5)真.其中真命题是( )
A.③⑤ B.①② C.④⑥ D.③④
4.下面叙述正确的是( )
A.综合法、分析法是直接证明的方法 B.综合法是直接证法、分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的
5.类比平面正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是( )
① 各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;
② 各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;
③ 各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
A.① B.①② C.①②③ D.③
6.(05·春季上海,15)若a,b,c是常数,则“a>0且b2-4ac<0”是“对x∈R,有ax2+bx+c>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
7.(04·全国Ⅳ,理12)设f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),f(5)=( )
A.0 B.1 C. D.5
8.设S(n)=++++…+,则( )
A.S(n)共有n项,当n=2时,S(2)=+
B.S(n)共有n+1项,当n=2时,S(2)=++
C.S(n)共有n2-n项,当n=2时,S(2)=++
D.S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S(2)=++
9.在R上定义运算⊙:x⊙y=,若关于x的不等式(x-a)⊙(x+1-a)>0的解集是集合{x|-2≤x≤2,x∈R}的子集,则实数a的取值范围是( )
A.-2≤a≤2 B.-1≤a≤1 C.-2≤a≤1 D.1≤a≤2
10.已知f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0时,f(x)=2x,若n∈N*,an=f(n),则a2006=( )
A.2006 B.4 C. D.-4
11.函数f(x)在[-1,1]上满足f(-x)=-f(x)是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式中正确的是( )
A.f(sinα)>f(sinβ) B. f(cosα)>f(sinβ)
C.f(cosα)<f(cosβ) D.f(sinα)<f(sinβ)
12.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的,则奖的歌手是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
二 填空题(4×4=16分)
13.“开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数,现给出一组数:,-,,-,,它的第8个数可以是 。
14.在平面几何里有射影定理:设△ABC的两边AB⊥AC,D是A点在BC边上的射影,则AB2=BD.BC.拓展到空间,在四面体A—BCD中,DA⊥面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在面BCD内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC三者面积之间关系为 。
15.(05·天津)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,S10=____________.
16.(05黄冈市一模题)当a0,a1,a2成等差数时,有a0-2a1+a2=0,当a0,a1,a2,a3成等差数列时,有a0-3a1+3a2-a3=0,当a0,a1,a2,a3,a4成等差数列时,有a0-4a1+6a2-4a3+a4=0,由此归纳:当a0,a1,a2,…,an成等差数列时有Ca0-Ca1+Ca2-…+Can=0. 如果a0,a1,a2,…,an成等差数列,类比上述方法归纳出的等式为___。
三 解答题(74分)
17 已知△ABC中,角A、B、C成等差数列,求证:+=(12分)
18.若a、b、c均为实数,且a=x2-2x+,b=y2-2y+,c=z2-2z+,求证:a、b、c中至少有一个大于0. (12分)
19.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).
证明:⑴数列{}是等比数列;⑵Sn+1=4an. (12分)
20.用分析法证明:若a>0,则-≥a+-2.(12分)
21.设事件A发生的概率为P,若在A发生的条件下B发生概率为P′,则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.
一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第0、1、2、…、100,共101站,一枚棋子开始在第0站(即P0=1),由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站,出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时,游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同,设棋子跳到第到第n站时的概率为Pn.
(1)求P1,P2,P3;
(2)设an=Pn-Pn-1(1≤n≤100),求证:数列{an}是等比数列 (12分)
22.(14分) 在ΔABC中(如图1),若CE是∠ACB的平分线,则=.其证明过程:作EG⊥AC于点G,EH⊥BC于点H,CF⊥AB于点F
∵CE是∠ACB的平分线,
∴EG=EH.
又∵==,
==,
∴=.
(Ⅰ)把上面结论推广到空间中:在四面体A-BCD中(如图2),平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面,类比三角形中的结论,你得到的相应空间的结论是______
F
E
A
C
E
B
D
图2
F
h2
h11
(Ⅱ)证明你所得到的结论.
答案:
一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D 9C10C 11B 12 C
11 分析:因为锐角三角形,所以α+β>,所以0<-α<β<,
sin(-α)<sinβ,0<cosα<sinβ<1,函数f(x)在[-1,1]上满足是减函数
所以f(cosα)>f(sinβ)。
12分析:先猜测甲、乙对,则丙丁错,甲、乙可看出乙获奖则丁不错,所以丙丁中必有一个是对的,设丙对,则甲对,乙错,丁错. ∴答案为C.
二 13 - 14 (S△ABC)2= S△BOC. S△BDC 15. 35
16 a0C·a1-C·a2 C·…·an (-1)nC=1.
[解析]解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解,类比去探求等比数列相应的性质.实际上,等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比,即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.
三 解答题
17 (分析法) 要证 +=
需证: +=3
即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)
即证:c2+a2=ac+b2
因为△ABC中,角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB
即b2= c2+a2-ca 所以c2+a2=ac+b2
因此 +=
18 (反证法).证明:设a、b、c都不大于0,a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0,
而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∴a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.
19(综合法).证明:⑴由an+1=Sn,而an+1=Sn+1-Sn得
∴Sn=Sn+1-Sn,∴Sn+1=Sn,∴=2,∴数列{}为等比数列.
⑵由⑴知{}公比为2,∴=4=·,∴Sn+1=4an.
20(分析法).证明:要证-≥a+-2,只需证+2≥a++.
∵a>0,∴两边均大于零,因此只需证(+2)2≥(a++)2,
只需证a2++4+4≥a2++2+2(a+),
只需证≥(a+),只需证a2+≥(a2++2),
即证a2+≥2,它显然是成立,∴原不等式成立.
21.(1)解:P0=1,∴P1=, P2=×+=,P3=×+×=.
(2)证明:棋子跳到第n站,必是从第n-1站或第n-2站跳来的(2≤n≤100),所以Pn=Pn-1+Pn-2
∴Pn-Pn-1=-Pn-1+Pn-1+Pn-2=-(Pn-1-Pn-2),
∴an=-an-1(2≤n≤100),且an=P1-P0=-.
故{an}是公比为-,首项为-的等比数列(1≤n≤100).
22.结论: =或=或=
证明:设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1,h2,则由平面CDE平分二面角A-CD-B知h1=h2.
又∵==
===
A
G
F
E
B H C
图1
A
C
E
B
D
图2
F
h2
h11
∴=