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- 2021-07-01 发布
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2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】首先求出集合、,再根据交集的定义计算可得.
【详解】
解:
故选:
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法,交集的运算,属于基础题.
2.命题“,”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答.
【详解】
解:,为全称命题,故其否定为,
故选:
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.
3.已知实数满足,且,那么下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先根据,且,得出的符号,再结合,利用不等式的基本性质即可得到结果.
【详解】
解:,且,
即,故正确;
,,
又,
,即,故错误;
可正、可负、可为零,
的关系无法确定,故错误;
,,
,故错误;
故选:.
【点睛】
本题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
4.已知是两个命题,若是假命题,那么( )
A.p是真命题且q是假命题 B.是真命题且q是真命题
C.p是假命题且q是真命题 D.p是假命题且q是假命题
【答案】A
【解析】利用复合命题的真假判断即可.
【详解】
解:设,是两个命题,若是假命题,
可知与都是假命题,
则是真命题且是假命题.
故选:.
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用,属于基础题.
5.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A.7 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】确定不等式表示的平面区域,明确目标函数的几何意义,即可求得最大值.
【详解】
解:不等式表示的平面区域如图所示:
目标函数,即,则直线过点时,纵截距最大,
此时,由,可得,
目标函数的最大值为
故选:.
【点睛】
本题考查线性规划知识,考查数形结合的数学思想,考查学生的计算能力,属于中档题.
6.已知椭圆的标准方程为,并且焦距为4,则实数m的值为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】B
【解析】分焦点在轴和轴两种情况讨论,计算可得.
【详解】
解:椭圆的标准方程为,并且焦距为4,
则,
当焦点在轴,则,,
,解得
当焦点在轴,则,,
,解得
故选:
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,关键要对焦点所在轴分类讨论,属于基础题.
7.在中,,则的面积等于( )
A. B.2 C. D.3
【答案】C
【解析】由余弦定理计算出边,再由面积公式计算可得.
【详解】
解:
即解得,
故选:
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形以及面积公式的应用,属于基础题.
8.已知数列中,前项和为,且点在直线上,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:点在一次函数上的图象上,,数列为等差数列,其中首项为,公差为,,数列的前项和,,.故选D.
【考点】1、等差数列;2、数列求和.
9.两处有甲、乙两艘船,乙船在甲船的正东方向,若乙船从B处出发沿北偏西45°方向行驶20海里到达C处,此时甲船与乙船相距50海里随后甲船从A处出发,沿正北方向行驶海里到达D处,此时甲、乙两船相距( )海里
A. B.45 C.50 D.
【答案】C
【解析】依题意画出草图,在中,由正弦定理可得,由诱导公式可得的值,再在中,由余弦定理计算可得的值.
【详解】
解:依题意可画图象如图
则,,,
在中,由正弦定理可得
即,
在中,由余弦定理可得
即
解得
故选:
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用,利用正弦定理、余弦定理计算距离,属于基础题.
10.如图四边形中,,,现将沿折起,当二面角的大小为时,直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取中点,连结,,以为原点,为轴,为轴,过点作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线与所成角的余弦值.
【详解】
解:取中点,连结,,
.,,,且,,
是二面角的平面角,
因为二面角的平面角为,
以为原点,为轴,为轴,
过点作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,0,,,1,,,
,,
设、的夹角为,
则,
故选:.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
11.已知抛物线,过点的直线交该抛物线于两点O为坐标原点,F为抛物线的焦点若,则的面积为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】设,、,,算出抛物线的焦点坐标,从而可设直线的方程为,与抛物线方程联解消去可得,利用根与系数的关系算出.根据利用抛物线的抛物线的定义算出,可得,进而算出,最后利用三角形的面积公式加以计算,即可得到的面积.
【详解】
解:根据题意,抛物线的焦点为.
设直线的斜率为,可得直线的方程为,
由消去,得,
设,、,,由根与系数的关系可得.
根据抛物线的定义,得,解得,
代入抛物线方程得:,解得,
当时,由得;当时,由得,
,即两点纵坐标差的绝对值等于.
因此的面积为:
.
故选:.
【点睛】
本题给出抛物线经过焦点的弦,在已知长的情况下求的面积.着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识,属于中档题.
12.在棱长为3的正方体中,E是的中点,P是底面所在平面内一动点,设,与底面所成的角分别为(均不为0),若,则三棱锥体积的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】通过建系如图,利用,结合平面向量数量积的运算计算即得结论.
【详解】
解:建系如图,正方体的边长为3,则,0,,,0,,
设,,,,则,,,,,,
,,0,,
,即,
代入数据,得:,
整理得:,
变形,得:,
即动点的轨迹为圆的一部分,
过点作,交于点,则为三棱锥的高
点到直线的距离的最大值是2.
则.
故选:.
【点睛】
本题考查平面与圆柱面的截线,建立空间直角坐标系是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
二、填空题
13.是等差数列,…的第_____项.
【答案】
【解析】求出首项,公差,从而,由此能求出结果.
【详解】
解:等差数列,,中,
首项,公差,
,
,.
故是等差数列,,的第100项.
故答案为:.
【点睛】
本题考查等差数列的某一项的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
14.设,则的最大值为_____.
【答案】
【解析】已知,,,直接利用基本不等式转化求解的最大值即可.
【详解】
,,,即,
两边平方整理得,
当且仅当,时取最大值;
故答案为:
【点睛】
本题考查基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力,注意基本不等式成立的条件.
15.已知四棱锥底面是边长为1的正方形,底面,
,M是的中点,P是上的动点若面,则_____.
【答案】
【解析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出面时的坐标,即可求出的值.
【详解】
解:以为原点,为轴,为轴,为轴,
建立空间直角坐标系,
由题意知, , ,
设
则,,
设平面的法向量,
则,
取,得,
面
即解得
故答案为:
【点睛】
本题考查线面平行求其他量,属于中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
16.已知双曲线的左、右点分别为,过的直线与C的两条渐近线分别交于两点,若,则C的离心率为______.
【答案】
【解析】由题意画出图形,结合已知可得,写出的方程,与联立求得点坐标,与联立求得点坐标,再由,得到,即可求得离心率.
【详解】
解:由题意画出图形,
因为双曲线
所以渐近线为,
过的直线与C的两条渐近线分别交于两点,
则 及,则
,
联立,解得,,
联立,解得,,
即
故答案为:.
【点睛】
本题考查直线与双曲线,求双曲线的离心率,属于中档题.
三、解答题
17.已知命题题.若p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】设命题对应的集合为,命题对应的集合为,由是,由,得,即是使,对分类讨论可得.
【详解】
解:由,得,
设命题对应的集合为
设命题对应的集合为,是
由,得,
若时,,
,则显然成立;
若时,,则,
综上:.
【点睛】
本题考查根据充分条件求参数的取值范围,不等式的解法,属于基础题.
18.如图,在三棱锥中平面平面,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若点E为中点,,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析,(Ⅱ)
【解析】(1)过B作于点D,则平面,可得,又,则平面,即可得证.
(2)以为坐标原点,过作垂直的直线为轴,为轴正向,为轴建立如图所以空间直角坐标系,分别求出平面、平面的法向量,利用空间向量法求出二面角的余弦值.
【详解】
证明:(1)过B作于点D,
平面平面,且平面平面,
故平面.
又平面,
∴.
又,,平面,平面
所以平面.
∴
(2)由(1)有平面,故以为坐标原点,过作垂直的直线为轴,为轴正向,为轴建立如图所以空间直角坐标系
则,,,,
故,,
设平面的法向量则,
令有,故,
同理可得平面的法向量,
则,又平面与平面所成角为锐角,
所以平面与平面所成角的余弦值为
【点睛】
本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
19.《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过,自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革,是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源,当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究,把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨.周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为,且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.
(Ⅰ)该企业每周加工处理量为多少吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低?
(Ⅱ)该企业每周能否获利?如果获利,求出利润的最大值;如果不获利,则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损?
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)故该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1125元,才能不亏损.
【解析】(Ⅰ)由题意,周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:,两边同时除以,然后利用基本不等式从而求出最值;
(2)设该单位每月获利为,则,把值代入进行化简,然后运用配方法进行求解.
【详解】
解:(Ⅰ)由题意可知,
每吨平均加工成本为:
当且仅当即时,才能使每吨的平均加工成本最低.
(Ⅱ)设该单位每月获利为,则
时,
故该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1125元,才能不亏损.
【点睛】
此题是一道实际应用题,考查了函数的最值和基本不等式,及运用配方法求函数的最值,属于基础题.
20.在三角形中,角所对的边分别为已知.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若且,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】(1)利用正弦定理将角化边,再利用余弦定理求出角;
(2)由正弦定理可得,将转化为关于的三角函数,利用三角函数的性质求出取值范围.
【详解】
解:(1)
由正弦定理,,即
由余弦定理,,
又
(2)因为且,由正弦定理得,
,
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形,三角恒等变换以及正弦函数的性质,属于中档题.
21.已知椭圆C的焦点在x轴上,左、右焦点分别为,焦距等于8,并且经过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左、右顶点分别为,点M在椭圆上,且异于椭圆的顶点,点Q为直线与y轴的交点,若,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)根据焦距求出两点坐标,利用两点间的距离公式求出,的值,即可求出椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线的方程为:,联立直线与椭圆方程,即可求出的坐标,由则求出的值即可.
【详解】
解:(Ⅰ)由题意知,
,
,
,
∴椭圆的方程为:
(Ⅱ)设直线的方程为:,
∴点
联立直线与椭圆C的方程,得
消去,得,
∴,,
∴,
∵,
∴,∴,
解得
∴直线的方程为:
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的综合应用,属于中档题.
22.设数列满足,其中.
(Ⅰ)证明:是等比数列;
(Ⅱ)令,设数列的前n项和为,求使成立的最大自然数n的值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由递推公式凑出与的关系,即可得证
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,即可得到的通项公式,再用错位相减法求和,证明其单调性,可得得解.
【详解】
解:(Ⅰ)
是首项为,公比为的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
即,
①
②,
①减②得
.
,
单调递增.
,
.
故使成立的最大自然数.
【点睛】
本题考查利用递推公式证明函数是等比数列,以及错位相减法求和,属于中档题.