高中数学选修2-2课时练习第二章 2_2 11页

‎2．2　导数的几何意义 ‎[学习目标]‎ ‎1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．‎ ‎2．会求导函数．‎ ‎3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．‎ ‎[知识链接]‎ 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导 数就是瞬时速度，这是函数的导数的物理意义，那么从函数的图像上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？‎ 答　设函数y＝f(x)的图像如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝‎ .‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．切线的定义：‎ 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn＝，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．‎ ‎2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝ ＝f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　过曲线上一点求切线方程 例1　求曲线C1：f(y)＝－上一点P处的切线方程；‎ ‎∵f′(4)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ＝－，‎ ‎∴所求切线的斜率为－.‎ ‎∴所求切线方程为5x＋16y＋8＝0.‎ 规律方法　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图像，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝ ＝ ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．‎ 跟踪演练1　求曲线y＝在点处的切线方程．‎ 解　因为 ＝ ＝‎ ＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.‎ 要点二　过曲线外一点求切线方程 例2　已知曲线y＝2x2－7，求：‎ ‎(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?‎ ‎(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．‎ 解　y′＝ ＝ ＝‎ (4x＋2Δx)＝4x.‎ ‎(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，‎ ‎∴切点坐标为(1，－5)．‎ ‎(2)由于点P(3,9)不在曲线上．‎ 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，‎ 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．‎ 将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，‎ 得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．‎ 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．‎ 从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.‎ 规律方法　若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．‎ 跟踪演练2　求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．‎ 解　易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由 y′|x＝x0＝ ＝－ 得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．‎ 由点(2,0)在直线上，得xy0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.‎ 要点三　求切点坐标 例3　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，‎ ‎(1)平行于直线y＝4x－5；‎ ‎(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；‎ ‎(3)与x轴成135°的倾斜角．‎ 解　f′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．‎ ‎(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，‎ 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，‎ 即P(2,4)是满足条件的点．‎ ‎(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，‎ 所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，‎ 即P是满足条件的点．‎ ‎(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，‎ 所以其斜率为－1.即2x0＝－1，‎ 得x0＝－，y0＝，‎ 即P是满足条件的点．‎ 规律方法　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．‎ 跟踪演练3　已知抛物线y＝2x2＋1，求 ‎(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?‎ ‎(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?‎ 解　设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.‎ ‎∴＝4x0＋2Δx.‎ 当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.‎ 即f′(x0)＝4x0.‎ ‎(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，‎ ‎∴斜率为4，‎ 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．‎ ‎(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，‎ ‎∴斜率为8，‎ 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).‎ ‎1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．4 B．‎16 C．8 D．2‎ 答案　C 解析　f′(2)＝ ＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，即k＝8.‎ ‎2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1‎ 答案　A 解析　由题意，知k＝y′|x＝0‎ ‎＝ ＝1，∴a＝1.‎ 又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.‎ ‎3．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．45° C．135° D．165°‎ 答案　B 解析　∵y＝x2－2，‎ ‎∴y′＝ ‎ ＝ ＝ ＝x.‎ ‎∴y′|x＝1＝1.∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.‎ ‎4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．‎ 答案　(3,30)‎ 解析　设点P(x0,2x＋4x0)，‎ 则f′(x0)＝ ‎＝ ＝4x0＋4，‎ 令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．‎ ‎1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即li ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．‎ ‎2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．‎ ‎3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)‎ ‎；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．‎ 一、基础达标 ‎1．下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在 答案　C 解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.‎ ‎2.‎ 已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)‎ A．f′(xA)>f′(xB)‎ B．f′(xA)