人教版高中数学选修1-1课件：2_3_2《抛物线的简单几何性质》 37页

抛物线的简单几何性质 一、抛物线的范围 : y 2 =2px y 取全体实数 X Y X  0 二、抛物线的对称性 y 2 =2px 关于 X 轴对称 没有对称中心 X Y 定义 ：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点 只有一个顶点 X Y 三、抛物线的顶点 y 2 =2px 所有的抛物线的离心率都是 1 X Y 四、抛物线的离心率 y 2 =2px X + ， x 轴正半轴，向右 X - ， x 轴负半轴，向左 y + ， y 轴正半轴，向上 y - ， y 轴负半轴，向下 五、抛物线开口方向的判断 y 2 =2p x x y o · F l A B 过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段 AB 叫做抛物线的通径， 长为 2p P 越大，开口越阔 六、抛物线开口大小 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 关于 x 轴 对称，无 对称中心 关于 x 轴 对称，无 对称中心 关于 y 轴 对称，无 对称中心 关于 y 轴 对称，无 对称中心 e=1 e=1 e=1 e=1 x y O F A B B ’ A ’ x y O F A B B ’ A ’ 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 拓展： 过抛物线 y 2 =2px 的焦点 F 任作一条直线 m ， 交这抛物线于 A 、 B 两点，求证：以 AB 为直径的圆 和这抛物线的准线相切． 证明：如图． 所以 EH 是以 AB 为直径的圆 E 的半径，且 EH ⊥ l ，因而圆 E 和准线 l 相切． 设 AB 的中点为 E ，过 A 、 E 、 B 分别向准线 l 引垂线 AD ， EH ， BC ，垂足为 D 、 H 、 C ， 则｜ AF ｜＝｜ AD ｜，｜ BF ｜＝｜ BC ｜ ∴ ｜ AB ｜ ＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜ ＝｜ AD ｜＋｜ BC ｜ =2 ｜ EH ｜ 抛物线的焦点弦的特征 1 、已知 AB 是抛物线 y 2 ＝ 2px 的任意一条焦点弦，且 A （ x 1 ， y 1 ）、 B （ x 2 ， y 2 ） 1 ）求证： y 1 y 2 ＝－ P 2 ， x 1 x 2 ＝ p 2 / 4 。 2 ）设 θ 为直线 AB 的倾斜角，求证：当 θ ＝ 90 o 时，取得 ︱AB︱ 的最小值 2p 。 3 ）若弦 AB 过焦点，求证：以 AB 为直径的圆与准线相切。 x y O A B 抛物线的几何性质特点 （ 1 ）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线。 （ 2 ）只有一条对称轴，没有对称中心。 （ 3 ）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。 （ 4 ）离心率 e 是确定的，即 e =1 （ 5 ）一次项系数的绝对值越大，开口越大 课堂小结 （ 1 ）抛物线的简单几何性质 （ 2 ）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 （ 3 ）应用性质求标准方程的方法和步骤 小 结 ： 1 、抛物线的定义 , 标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2 、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程 3 、注重数形结合的思想。 例 5 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点，通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D ，求证：直线 DB 平行于抛物线的对称轴。 x y O F A B D 例 1 已知抛物线的方程为 y ²=4x, 直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k,k 为何值时，直线 l 与抛物线 y²=4x: 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ X Y O · P 例 1 已知抛物线的方程为 y ²=4x, 直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k,k 为何值时，直线 l 与抛物线 y²=4x: 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形： 一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切． l 1 l 2 例题 1 . 如图所示，直线 与 相交于 M 点 ， 以 A,B 为端点的曲 线段 C 上的任一点到 的距离与到点 N 的距离相等， 为锐角 三角形， 建立适当坐标系 , 求曲线 C 的方程。 B A M N 1 2 3 分析： 1. 如何选择适当的坐标系。 2. 能否判断曲线段是何种类型曲线。 3. 如何用方程表示曲线的一部分。 l 1 l 2 例题 1 . 如图所示，直线 与 相交于 M 点 ， 以 A,B 为端点的曲 线段 C 上的任一点到 的距离与到点 N 的距离相等， 为锐角 三角形， 建立适当坐标系 , 求曲线 C 的方程。 y x D 解法一： 由图得， C B A M N 曲线段 C 的方程为： 即抛物线方程： l 1 l 2 例题 1 . 如图所示，直线 与 相交于 M 点 ， 以 A,B 为端点的曲 线段 C 上的任一点到 的距离与到点 N 的距离相等， 为锐角 三角形， 建立适当坐标系 , 求曲线 C 的方程。 y x D C B A M N 解法二： 曲线段 C 的方程为： 例题 2. 已知抛物线 y=x 2 , 动弦 AB 的长为 2 ，求 AB 中点纵坐标的最小值。 . x o y F A B M C N D 解： 1. 已知 M 为抛物线 上一动点， F 为抛物线的焦点， 定点 P(3,1) , 则 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2. 过点 (0,2) 与抛物线 只有一个公共点的直线有 （ ） （ A ） 1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D) 无数多条 B C . M . N . M . P . P 3. 过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P 、 Q 两点， 若 PF 与 FQ 的长分别是 ( )(A)2a (B) (C)4a (D) y x F . P Q 4. 已知 A 、 B 是抛物线 上两点， O 为坐标原点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 AB 的方 程是： ( ) (A) (B) (C) (D) A B O F . y x C D 坐标系中，方程 与 的曲线是（ ） (A) (B) (C) (D) x y o x y o y x o y x o D