2018届二轮复习第43讲　数列的综合问题课件（全国通用） 39页

第 3 讲　 数列 的综合问题 专题四　数列、推理与证明 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 高考真题 体验 1 2 1.(2016· 浙江 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S 2 ＝ 4 ， a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 ， n ∈ N * ，则 a 1 ＝ ______ ， S 5 ＝ ______. 当 n ≥ 2 时，由已知可得： a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 ， ① a n ＝ 2 S n － 1 ＋ 1 ， ② ① － ② 得 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 a n ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 3 a n ，又 a 2 ＝ 3 a 1 ， ∴ { a n } 是以 a 1 ＝ 1 为首项，以 q ＝ 3 为公比的等比数列 . 1 121 解析答案 1 2 2.(2016· 四川 ) 已知数列 { a n } 的首项为 1 ， S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， S n ＋ 1 ＝ qS n ＋ 1 ，其中 q >0 ， n ∈ N * . (1) 若 2 a 2 ， a 3 ， a 2 ＋ 2 成等差数列，求数列 { a n } 的通项公式； 解析答案 1 2 解　 由已知， S n ＋ 1 ＝ qS n ＋ 1 ， S n ＋ 2 ＝ qS n ＋ 1 ＋ 1 ，两式相减得 a n ＋ 2 ＝ qa n ＋ 1 ， n ≥ 1 . 又 由 S 2 ＝ qS 1 ＋ 1 得 a 2 ＝ qa 1 ，故 a n ＋ 1 ＝ qa n 对所有 n ≥ 1 都成立 . 所以数列 { a n } 是首项为 1 ，公比为 q 的等比数列 . 从而 a n ＝ q n － 1 . 由 2 a 2 ， a 3 ， a 2 ＋ 2 成等差数列，可得 2 a 3 ＝ 3 a 2 ＋ 2 ，即 2 q 2 ＝ 3 q ＋ 2 ，则 (2 q ＋ 1)( q － 2) ＝ 0 ， 由已知， q >0 ，故 q ＝ 2. 所以 a n ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). 1 2 解析答案 1 2 证明　 由 (1) 可知， a n ＝ q n － 1 . 因为 1 ＋ q 2( k － 1) > q 2( k － 1) ， 考情考向分 析 返回 1. 数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式 . 2. 以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围 . 3 . 将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用 . 热点一　利用 S n ， a n 的关系式求 a n 1. 数列 { a n } 中， a n 与 S n 的关系： 2. 求数列通项的常用方法 (1) 公式法：利用等差 ( 比 ) 数列求通项公式 . (2) 在已知数列 { a n } 中，满足 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) ，且 f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f ( n ) 可求，则可用累加法求数列的通项 a n . 热点分类突破 (4) 将递推关系进行变换，转化为常见数列 ( 等差、等比数列 ). 解析答案 思维升华 又 S 1 ＝ a 1 ＝ 1 ， 解析答案 思维升华 思维升华 思维 升华 给出 S n 与 a n 的递推关系，求 a n ，常用思路：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . a n ＝ 2 n 答案 解析 因为 a n >0 ，所以 a n ＋ a n － 1 ≠ 0 ，则 a n － a n － 1 ＝ 2 ， 所以数列 { a n } 是首项为 2 ，公差为 2 的等差数列，故 a n ＝ 2 n . 热点二　数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题 . 例 2 　 (2015· 陕西 ) 设 f n ( x ) ＝ x ＋ x 2 ＋ … ＋ x n － 1 ， x ≥ 0 ， n ∈ N ， n ≥ 2. (1) 求 f n ′ (2) ； 解析答案 解　 方法一　由题设 f n ′ ( x ) ＝ 1 ＋ 2 x ＋ … ＋ nx n － 1 ， 所以 f n ′ (2) ＝ 1 ＋ 2 × 2 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n － 2 ＋ n ·2 n － 1 ， ① 则 2 f n ′ (2) ＝ 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n － 1 ＋ n ·2 n ， ② ① － ② 得，－ f n ′ (2) ＝ 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 － n ·2 n 所以 f n ′ (2) ＝ ( n － 1)2 n ＋ 1. 解析答案 解析答案 思维升华 证明　 因为 f n (0) ＝－ 1 ＜ 0 ， 又 f ′ n ( x ) ＝ 1 ＋ 2 x ＋ … ＋ nx n － 1 ＞ 0 ， 解析答案 思维升华 思维升华 思维 升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 ： ( 1) 数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视 ； ( 2) 解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件 ； ( 3) 不等关系证明中进行适当的放缩 . 跟踪演练 2 　 (2015· 安徽 ) 设 n ∈ N * ， x n 是曲线 y ＝ x 2 n ＋ 2 ＋ 1 在点 (1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标 . (1) 求数列 { x n } 的通项公式； 解　 y ′ ＝ ( x 2 n ＋ 2 ＋ 1) ′ ＝ (2 n ＋ 2) x 2 n ＋ 1 ， 曲线 y ＝ x 2 n ＋ 2 ＋ 1 在点 (1,2) 处的切线斜率为 2 n ＋ 2 ， 从而切线方程为 y － 2 ＝ (2 n ＋ 2)( x － 1). 令 y ＝ 0 ，解得切线与 x 轴交点的横坐标 解析答案 证明　 由题设和 (1) 中的计算结果得 解析答案 热点三　数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型 —— 数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题 . 求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果 . 例 3 　 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 “ 绿色通道 ” 的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座 120 万元的蔬菜加工厂 M ， M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初 M 的价值比上年年初减少 10 万元，从第七年开始，每年年初 M 的价值为上年年初的 75%. (1) 求第 n 年年初 M 的价值 a n 的表达式； 解析答案 解　 当 n ≤ 6 时，数列 { a n } 是首项为 120 ，公差为－ 10 的等差数列， 故 a n ＝ 120 － 10( n － 1) ＝ 130 － 10 n ， 当 n ≥ 7 时，数列 { a n } 从 a 6 开始的项构成一个以 a 6 ＝ 130 － 60 ＝ 70 为首项， 解析答案 思维升华 证明　 设 S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和 ， 由 等差数列和等比数列的求和公式，得 当 1 ≤ n ≤ 6 时， S n ＝ 120 n － 5 n ( n － 1) ， 当 n ≥ 7 时，由于 S 6 ＝ 570 ， 解析答案 思维升华 因为 { a n } 是递减数列，所以 { A n } 是递减数列 . 所以必须在第九年年初对 M 更新 . 思维升华 思维 升华 常见数列应用题模型的求解方法 (1) 产值模型：原来产值的基础数为 N ，平均增长率为 p ，对于时间 n 的总产值 y ＝ N (1 ＋ p ) n . (2) 银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ r ) n . (3) 银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ nr ). 跟踪演练 3 　 一牧羊人赶着一群羊通过 6 个关口，每过 1 个关口守关人将拿走当时羊的一半，然后退还 1 只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下 2 只羊，则牧羊人在过第 1 个关口前有 ________ 只羊 . 解析　 记此牧羊人通过第 1 个关口前、通过第 2 个关口前、 …… 、通过第 6 个关口前，剩下的羊的只数组成数列 { a n }( n ＝ 1,2,3,4,5,6) ， 因此代入得 a 5 ＝ 2 ， a 4 ＝ 2 ， … ， a 1 ＝ 2. 2 返回 解析答案 押题依据 高考押题精练 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足关系式 S n ＝ ka n ＋ 1 ， k 为不等于 0 的常数 . (1) 试判断数列 { a n } 是否为等比数列； ① 求数列 { a n } 的通项公式及前 n 项和 S n 的表达式； 返回 解析答案 押题依据　 本题综合考查数列知识，第 (1) 问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，第 (2) 问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前 n 项和的常用方法 “ 裂项相消法 ” 与 “ 错位相消法 ” 结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力 . 解析答案 解　 (1) 若数列 { a n } 是等比数列，则由 n ＝ 1 得 a 1 ＝ S 1 ＝ ka 2 ，从而 a 2 ＝ ka 3 . 又取 n ＝ 2 得 a 1 ＋ a 2 ＝ S 2 ＝ ka 3 ， 于是 a 1 ＝ 0 ，显然矛盾，故数列 { a n } 不是等比数列 . 从而 S n ＝ a n ＋ 1 . 当 n ≥ 2 时，由 S n － 1 ＝ a n ，得 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ， 解析答案 从而其前 n 项和 S n ＝ 2 n － 2 ( n ∈ N * ). ② 由 ① 得 b n ＝ n － 2 ， 解析答案 记 C 2 ＝ 1·2 － 1 ＋ 2·2 0 ＋ … ＋ n ·2 n － 2 ， 则 2 C 2 ＝ 1·2 0 ＋ 2·2 1 ＋ … ＋ n ·2 n － 1 ， 即 n 2 ＋ n － 90>0 ，因为 n ∈ N * ，故 n >9 ， 从而最小正整数 n 的值是 10. 返回