2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第57讲课件（34张）（全国通用） 34页

第 57 讲　椭 圆 考试要求　 1. 椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 (A 级要求 ) ； 2. 椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质 (B 级要求 ). 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) 诊 断 自 测 解析　 (1) 由椭圆的定义知，当该常数大于 F 1 F 2 时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 F 1 F 2 时，其轨迹为线段 F 1 F 2 ，常数小于 F 1 F 2 时，不存在这样的图形 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)√ 　 (4)√ 　 (5)√ 解得 m ＝ 4 或 m ＝ 8. 答案 　 4 或 8 解析　 设 P ( x ， y ) ，由题意知 c 2 ＝ a 2 － b 2 ＝ 5 － 4 ＝ 1 ， 1. 椭圆的概念 平面内到两个定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 F 1 F 2 ) 的点的轨迹 叫做 ______ ， 两个定点 F 1 ， F 2 叫做椭圆 的 ______ ， 两焦点间的距离叫做椭圆 的 _____ . 集合 P ＝ { M | MF 1 ＋ MF 2 ＝ 2 a } ， F 1 F 2 ＝ 2 c ，其中 a >0 ， c >0 ，且 a ， c 为常数： (1) 若 ______ ， 则集合 P 为椭圆； (2) 若 ______ ， 则集合 P 为线段； (3) 若 ______ ， 则集合 P 为空集 . 知 识 梳 理 椭圆 焦点 a > c a ＝ c a < c 焦距 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形     性质 范围 － a ≤ x ≤ a － b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b － a ≤ y ≤ a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A 1 ( － a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) B 1 ( － b ， 0) ， B 2 ( b ， 0) 轴 长轴 A 1 A 2 的长 为 _____ ； 短轴 B 1 B 2 的长 为 _____ 焦距 F 1 F 2 ＝ _____ 离心率 e ＝ ∈ (0 ， 1) a ， b ， c 的关系 __________ 2 a 2 b 2 c a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 考点一　椭圆的定义及标准方程 【例 1 － 1 】 已知 △ ABC 的三边 a ， b ， c ( a > b > c ) 成等差数列， A ， C 两点的坐标分别为 ( － 1 ， 0) ， (1 ， 0) ，试确定顶点 B 所在的曲线的方程 . 解　 设点 B 的坐标为 ( x ， y ) ， 因为 a ， b ， c ( a > b > c ) 成等差数列， 所以 a ＋ c ＝ 2 b ，即 BC ＋ BA ＝ 4> AC ＝ 2. 又因为 a > b > c ，所以 BC > AC ， 所以 ( x － 1) 2 ＋ y 2 >( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ，所以 x <0. 又当 x ＝－ 2 时，点 B ， A ， C 在同一直线上，不能构成 △ ABC ，所以 x ≠ － 2. 【例 1 － 2 】 (1) 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍，并且过点 P (3 ， 0) ，则椭圆的方程为 ________. 解析　 (1) 若焦点在 x 轴上， (2) 设椭圆方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 且 m ≠ n ). ∵ 椭圆经过点 P 1 ， P 2 ， ∴ 点 P 1 ， P 2 的坐标适合椭圆方程 . 解析　 设 PF 1 ＝ r 1 ， PF 2 ＝ r 2 ， 所以 b ＝ 3. 答案　 3 规律方法　 (1) 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2 a > F 1 F 2 这一条件 . (2) 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a ， b 的方程组 . 如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) 的形式 . (3) 当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F 1 ， F 2 组成的三角形通常称为 “ 焦点三角形 ” ，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求 PF 1 · PF 2 ；通过整体代入可求其面积等 . 【训练 1 】 已知动圆 M 与圆 F ： x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 外切，与圆 N ： x 2 ＋ y 2 ＋ 4 y － 77 ＝ 0 内切，求动圆圆心 M 所在的曲线 C 的方程 . 解　 因为圆 N ： x 2 ＋ y 2 ＋ 4 y － 77 ＝ 0 ， 即 x 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 81 ，所以 N (0 ，－ 2) ，半径为 9. 设动圆半径为 R ，则 MF ＝ R ＋ 1 ， MN ＝ 9 － R ， 考点二　椭圆的几何性质 答案　 2 规律方法　 (1) 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ① 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中 x ， y 的范围，离心率的范围等不等关系 . ② 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系 . (2) 求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a ， b ， c 的等式或不等式，利用 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 消去 b ，即可求得离心率或离心率的范围 . 考点三　直线与椭圆的位置关系 (1) 求椭圆的标准方程； (2) 过 F 的直线与椭圆交于 A ， B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P ， C ，若 PC ＝ 2 AB ，求直线 AB 的方程 . 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 将 AB 的方程代入椭圆方程， 得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 － 4 k 2 x ＋ 2( k 2 － 1) ＝ 0 ， 若 k ＝ 0 ，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意 . 从而 k ≠0 ，故直线 PC 的方程为 解得 k ＝ ±1. 此时直线 AB 的方程为 y ＝ x － 1 或 y ＝－ x ＋ 1. 规律方法 　与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题 . 涉及弦中点问题用 “ 点差法 ” 解决往往更简单 . ∵ b 2 ＋ c 2 ＝ 4 ， ∴ b 2 ＝ 1 ， c 2 ＝ 3. (2) 设直线 OC 的斜率为 k ，则直线 OC 方程为 y ＝ kx ， 又直线 AB 方程为 y ＝ k ( x － 2) ， 代入椭圆方程 x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 4 ， 得 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 － 16 k 2 x ＋ 16 k 2 － 4 ＝ 0.