2018届二轮复习6-2等差数列及其前n项和课件（全国通用） 30页

6 . 2 　 等差数列及其前 n 项和 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 等差数列 (1) 定义 : 一般地 , 如果一个数列从 　　　　　 起 , 每一项与它的前一项的 　　　　 等于 　　　　　　　　　 , 那么这个数列就叫做等差数列 , 这个常数叫做等差数列的 　　　　　 , 公差通常用字母 d 表示 . 数学语言表示为 　　　　　　　 ( n ∈ N * ), d 为常数 .   (2) 等差中项 : 数列 a , A , b 成等差数列的充要条件是 　　　　　　 , 其中 A 叫做 a , b 的 　　　　　　　 .   (3) 等差数列的通项公式 : a n = 　　　　　　　　　 , 可推广为 a n =a m + ( n-m ) d.   第 2 项 差 同一个常数 公差 a n+ 1 -a n =d 等差中项 a 1 + ( n- 1) d - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 等差数列的通项公式及前 n 项和公式与函数的关系 (1) a n =a 1 + ( n- 1) d 可化为 a n =dn+a 1 -d 的形式 . 当 d ≠0 时 , a n 是关于 n 的一次函数 ; 当 d> 0 时 , 数列为递增数列 ; 当 d< 0 时 , 数列为递减数列 . (2) 数列 { a n } 是等差数列 , 且公差不为 0 ⇔ S n =An 2 +Bn ( A , B 为常数 ) . 1 . 已知 { a n } 为等差数列 , d 为公差 , S n 为该数列的前 n 项和 . (1) 在等差数列 { a n } 中 , 当 m+n=p+q 时 , a m +a n =a p +a q ( m , n , p , q ∈ N * ) . 特别地 , 若 m+n= 2 p , 则 2 a p =a m +a n ( m , n , p ∈ N * ) . (2) a k , a k+m , a k+ 2 m , … 仍是等差数列 , 公差为 md ( k , m ∈ N * ) . - 5 - 知识梳理 考点自测 - 6 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 若一个数列从第 2 项起 , 每一项与它的前一项的差都是常数 , 则这个数列是等差数列 . ( 　　 ) (2) 已知数列 { a n } 的通项公式是 a n =pn+q ( 其中 p , q 为常数 ), 则数列 { a n } 一定是等差数列 . ( 　　 ) (3) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是其通项公式为关于 n 的一次函数 . ( 　　 ) (4) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是对任意 n ∈ N * , 都有 2 a n+ 1 =a n +a n+ 2 . ( 　　 ) (5) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的 . ( 　　 ) (6) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 . ( 　　 ) × √ × √ √ × - 7 - 知识梳理 考点自测 2 . (2017 浙江 ,6) 已知等差数列 { a n } 的公差为 d , 前 n 项和为 S n , 则 “ d> 0” 是 “ S 4 +S 6 > 2 S 5 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 C 解析 : 因为 所以 S 4 +S 6 > 2 S 5 ⇔ 10 a 1 + 21 d> 10 a 1 + 20 d ⇔ d> 0, 即 “ d> 0” 是 “ S 4 +S 6 > 2 S 5 ” 的充分必要条件 , 选 C . 3 . (2017 辽宁抚顺重点校一模 , 文 2) 在等差数列 { a n } 中 , a 3 +a 6 = 11, a 5 +a 8 = 39, 则公差 d 为 ( 　　 ) A.-14 B.-7 C.7 D.14 C 解析 : ∵ a 3 +a 6 = 11, a 5 +a 8 = 39, 则 4 d= 28, 解得 d= 7 . 故选 C . - 8 - 知识梳理 考点自测 4 . 已知 { a n } 为等差数列 , S n 为其前 n 项和 . 若 a 1 = 6, a 3 +a 5 = 0, 则 S 6 = 　　　　　 .   6 解析 : ∵ { a n } 是等差数列 , ∴ a 3 +a 5 = 2 a 4 = 0 . ∴ a 4 = 0 . ∴ a 4 -a 1 = 3 d=- 6 . ∴ d=- 2 . ∴ S 6 = 6 a 1 + 15 d= 6 × 6 + 15 × ( - 2) = 6 . 18 162 - 9 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 等差数列中基本量的求解 例 1 (1)(2017 辽宁大连一模 , 文 6) 已知数列 { a n } 满足 a n+ 1 -a n = 2, a 1 =- 5, 则 |a 1 |+|a 2 |+ … +|a 6 |= ( 　　 ) A.9 B.15 C.18 D.30 (2) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S m- 1 =- 2, S m = 0, S m+ 1 = 3, 则 m 等于 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 C C - 10 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 11 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 求等差数列基本量的一般方法是什么 ? 解题心得 1 . 等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a 1 和公差 d , 然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解 . 2 . 等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a 1 , a n , d , n , S n , 已知其中三个就能求出另外两个 , 体现了用方程组解决问题的思想 . 3 . 减少运算量的设元的技巧 , 若三个数成等差数列 , 可设这三个数分别为 a-d , a , a+d ; 若四个数成等差数列 , 可设这四个数分别为 a- 3 d , a-d , a+d , a+ 3 d. - 13 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 1 (1) 已知等差数列 { a n } 前 9 项的和为 27, a 10 = 8, 则 a 100 = ( 　　 ) A.100 B.99 C.98 D.97 (2)(2017 福建厦门一模 , 文 14) 已知 { a n } 是等差数列 , 其前 n 项和为 S n , a 1 +a 3 +a 5 = 15, a 2 +a 4 +a 6 = 0, 则 S n 的最大值为 　　　　　 .   C 30 - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 15 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 等差数列的判定与证明 - 16 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些 ? 解题心得 1 . 等差数列的四种判断方法 : (1) 定义法 : a n+ 1 -a n =d ( d 是常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (2) 等差中项法 :2 a n+ 1 =a n +a n+ 2 ( n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (3) 通项公式 : a n =pn+q ( p , q 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (4) 前 n 项和公式 : S n =An 2 +Bn ( A , B 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . 2 . 若证明一个数列不是等差数列 , 则只需证明存在连续三项不成等差数列即可 . - 17 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 2 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S n = 2 n - 1 . 数列 { b n } 满足 b 1 = 2, b n+ 1 - 2 b n = 8 a n . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 证明 : 数列 为等差数列 , 并求 { b n } 的通项公式 . - 18 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 等差数列性质的应用 ( 多考向 ) 考向 1 　 等差数列项的性质的应用 例 3 (1)(2017 福建龙岩一模 , 文 3) 在等差数列 { a n } 中 , a 3 , a 7 是函数 f ( x ) =x 2 - 4 x+ 3 的两个零点 , 则 { a n } 的前 9 项和等于 ( 　　 ) A.-18 B.9 C.18 D.36 (2) 已知 { a n } 是等差数列 , S n 是其前 n 项和 . 若 =- 3, S 5 = 10, 则 a 9 的值是 　　　　　 . C 20 解析 : (1) ∵ 等差数列 { a n } 中 , a 3 , a 7 是函数 f ( x ) =x 2 - 4 x+ 3 的两个零点 , ∴ a 3 +a 7 = 4, (2) 由 S 5 = 10, 得 a 3 = 2, 因此 2 - 2 d+ (2 -d ) 2 =- 3, 即 d= 3, 故 a 9 = 2 + 3 × 6 = 20 . 思考 如何快捷地求出结果 ? - 19 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考向 2 　 等差数列前 n 项和的性质的应用 例 4 在等差数列 { a n } 中 , 前 m 项的和为 30, 前 2 m 项的和为 100, 则前 3 m 项的和为 　　　　　 .   210 思考 本例题应用什么性质求解比较简便 ? 解题心得 在等差数列 { a n } 中 , 依据题意应用其前 n 项和的性质解题能比较简便地求出结果 , 常用的性质有 : 在等差数列 { a n } 中 , 数列 S m , , … 也是等差数列 . - 20 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 A 5 - 21 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 22 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 等差数列前 n 项和的最值问题 例 5 (2017 北京海淀模拟 ) 等差数列 { a n } 中 , 设 S n 为其前 n 项和 , 且 a 1 > 0, S 3 =S 11 , 则当 n 为多少时 , S n 最大 ? - 23 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 解得 6 . 5 ≤ n ≤ 7 . 5, 故当 n= 7 时 , S n 最大 . 法四 : 由 S 3 =S 11 , 可得 2 a 1 + 13 d= 0, 即 ( a 1 + 6 d ) + ( a 1 + 7 d ) = 0, 故 a 7 +a 8 = 0, 又由 a 1 > 0, S 3 =S 11 可知 d< 0, 所以 a 7 > 0, a 8 < 0, 所以当 n= 7 时 , S n 最大 . 思考 求等差数列前 n 项和的最值有哪些方法 ? - 24 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 解题心得 求等差数列前 n 项和 S n 最值的两种方法 : (1) 函数法 : 将等差数列的前 n 项和 S n =An 2 +Bn ( A , B 为常数 ) 看作二次函数 , 根据二次函数的性质求最值 . - 25 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 4 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S 10 = 0, S 15 = 25, 则 nS n 的最小值为多少 ? - 26 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 1 . 等差数列的判断方法 (1) 定义法 ; (2) 等差中项法 ; (3) 利用通项公式判断 ; (4) 利用前 n 项和公式判断 . 2 . 公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数 , 且常数项为 0 . 若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的二次函数 , 则该数列不是等差数列 , 它从第 2 项起成等差数列 . 3 . 方程思想和化归思想 : 在解有关等差数列的问题时 , 可以先考虑把已知条件都化归为 a 1 和 d 等基本量的关系 , 再通过建立方程 ( 组 ) 求解 . - 27 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 1 . 当公差 d ≠0 时 , 等差数列的通项公式是 n 的一次函数 ; 当公差 d= 0 时 , a n 为常数 . 2 . 注意利用 “ a n -a n- 1 =d ” 时加上条件 “ n ≥ 2”; 否则 , 当 n= 1 时 , a 0 无定义 . - 28 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思想方法 —— 整体思想在等差数列中的应用 整体思想 , 就是在研究和解决有关数学问题时 , 通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征 , 从而对问题进行整体处理的解题方法 . 从整体上认识问题、思考问题 , 常常能化繁为简、变难为易 , 同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性 . 整体思想的主要表现形式有 : 整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等 . 在等差数列中 , 当要求的 S n 所需要的条件未知或不易求出时 , 可以考虑整体代入 . - 29 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 典例 1 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 3 +a 4 +a 5 = 12, 则 S 7 的值为 　　　　 .   答案 : 28 解析 : 设数列 { a n } 的首项为 a 1 , 公差为 d. ∵ a 3 +a 5 = 2 a 4 , ∴ 由 a 3 +a 4 +a 5 = 12 得 3 a 4 = 12, 即 a 4 = 4 . ∴ a 1 + 3 d= 4, 故 S 7 = 7 a 1 + = 7( a 1 + 3 d ) = 7 × 4 = 28 . - 30 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 典例 2 在等差数列 { a n } 中 , 其前 n 项和为 S n . 已知 S n =m , S m =n ( m ≠ n ), 则 S m+n = 　　　　　　　　 .   答案 : - ( m+n ) 解析 : 设 { a n } 的公差为 d , 则由 S n =m , S m =n ,