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- 2021-07-01 发布
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第7讲 立体几何中的向量方法(一)
A级 基础演练
(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则 ( ).
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1与l2相交但不垂直 D.以上均不正确
答案 B
2.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是 ( ).
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解析 若l∥α,则a·n=0.而A中a·n=-2,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,只有D选项中a·n=-3+3=0.
答案 D
3.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是 ( ).
A. B.(6,-2,-2)
C.(4,2,2) D.(-1,1,4)
解析 设平面α的法向量为n,则n⊥,n⊥,n⊥,所有与(或、
)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直,故选D.
答案 D
4.(2012·全国)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 ( ).
A.2 B. C. D.1
解析 连接AC,交BD于点O,连接EO,过点O作OH⊥AC1于点H,因为AB=2,所以AC=2,又CC1=2,所以OH=sin 45°=1.
答案 D
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=________.
解析 由已知得==,
∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.
答案 -2或
6.在四面体PABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.
解析 根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
∵PA=PB=PC,
∴H为△ABC的外心.
又∵△ABC为正三角形,
∴H为△ABC的重心,可得H点的坐标为.
∴PH= =a.
∴点P到平面ABC的距离为a.
答案 a
三、解答题(共25分)
7.(12分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为BB1、C1D1的中点,建立适当的坐标系,求平面AMN的一个法向量.
解 以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示).
设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则A(1,0,0),
M,N.
∴=,=.
设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),
∴
令y=2,∴x=-3,z=-4.∴n=(-3,2,-4).
8.(13分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,
设AC∩BD=N,连接NE.
则N,E(0,0,1),
A(,,0),M
∴=.
=.
∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知=,
∵D(,0,0),F(,,1),
∴=(0,,1)
∴·=0,∴AM⊥DF.
同理AM⊥BF.
又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.
B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为 ( ).
A.,-,4 B.,-,4
C.,-2,4 D.4,,-15
解析 ∵⊥,∴·=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,=(3,1,4),
则解得
答案 B
2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为 ( ).
A.a B.a C.a D.a
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.
设M(x,y,z),
∵点M在AC1上且=,
∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)
∴x=a,y=,z=.
得M,
∴||= =a.
答案 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为________.
解析 以D1A1、D1C1、D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),∴=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,只需·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0⇒x+y=1.
答案 1
4.(2013·淮南模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足=λ的实数λ的有____________个.
解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中点坐标为,又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3,
∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=1.∴有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.
答案 2
三、解答题(共25分)
5.(12分)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
(1)证明 如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E、P(0,0,a)、F.
=,=(0,a,0).
∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0,z),则=,
若使GF⊥平面PCB,则由
·=·(a,0,0)=a=0,得x=;
由·=·(0,-a,a)
=2+a=0,
得z=0.
∴G点坐标为,即G点为AD的中点.
6.(13分)(2012·湖南)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(1)证明:CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),
P(0,0,h).
(1)易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).
因为·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.
(2)由题设和(1)知,·分别是平面PAE,平面ABCD的法向量.而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos〈,〉|=|cos〈,〉|,
即=.
由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),
又=(4,0,-h),
故=.
解得h=.
又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.
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