专题32+双曲线及其性质-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练 11页

一、考纲要求：‎ ‎1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)‎ ‎3.理解数形结合思想.‎ ‎4.了解双曲线的简单应用．‎ 二、概念掌握和解题上注意点：‎ ‎1.应用双曲线的定义需注意的问题,在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．‎ ‎2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立与|PF1|·|PF2|间的联系．‎ ‎3. 求双曲线标准方程的主要方法 (1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.‎ (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.‎ ‎4.与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.‎ (2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.‎ 三、高考考题题例分析 例1.（2018课标卷I）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（　　）‎ A． B．3 C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，‎ 则：解得M（，），‎ 解得：N（），‎ 则|MN|==3．‎ 故选：B．‎ 例2.（2018课标卷II）　双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【答案】A 例3.（2018课标卷III）　设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，‎ ‎∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，‎ ‎∴|OP|===a，cos∠PF2O=，‎ ‎∵|PF1|=|OP|，‎ ‎∴|PF1|=a，‎ 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，‎ ‎∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），‎ 即3a2=c2，‎ 即a=c，‎ ‎∴e==，‎ 故选：C． ‎ 双曲线及其性质练习题 一、 选择题 ‎ 1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝ (　　)‎ A．2　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．1‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】依题意，e＝＝＝2，∴＝2a，则a2＝1，a＝1.‎ ‎2．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于 (　　)‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 (　　)‎ A．－y2＝1 B．x2－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为 (　　)‎ A．－＝1　　 B.－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A．‎ ‎5．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋ 2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为 (　　)‎ A． B． C． D．＋1‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由已知得＝2，所以e＝＝＝＝，故选B.‎ ‎6已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为 (　　)‎ A．48　　　　　 B．24‎ C．12 D．6‎ ‎【答案】B ‎7.若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是 (　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．‎ 所以|PF|＋|PA|的最小值为9.‎ ‎8．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)‎ C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)‎ ‎【答案】B ‎9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝ (　　) ‎ A． B． C． D． ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a.‎ 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，‎ ‎|F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝.‎ ‎10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点到两个焦点的距离分别为10和4，且离心率为2，则该双曲线的虚轴长为 (　　) ‎ A．3 B．6‎ C．3 D．6 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得2a＝10－4＝6，解得a＝3，又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝6，则b＝＝3，所以该双曲线的虚轴长为2b＝6，故选D.‎ ‎11.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝相切，则该双曲线的离心率为 (　　)‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】A　‎ ‎12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为 (　　)‎ A．　　 B. C． D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此e＝.‎ 二、填空题 ‎13．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎【答案】4　‎ ‎【解析】双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝4.‎ ‎14．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．‎ ‎【答案】10　‎ ‎【解析】由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10. ‎ ‎15．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】因为e＝＝，所以c＝a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎【答案】y＝±x　‎ 三、解答题 ‎17．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．‎ ‎【答案】－＝1.‎ ‎【解析】椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.‎ 设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ ‎∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，‎ 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ ‎∴＝3，得a＝3，b＝4，‎ ‎∴双曲线G的方程为－＝1.‎ ‎18．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0.‎ ‎【答案】(1) x2－y2＝6；(2)见解析 ‎【解析】　(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，‎ ‎∴双曲线的方程为x2－y2＝6.‎ 证法二：由证法一知1＝(－3－2，－m)，‎ 2＝(2－3，－m)，‎ ‎∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，‎ ‎∵点M在双曲线上，‎ ‎∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴1·2＝0.‎ ‎19．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆及双曲线的方程．‎ ‎(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积. ‎ ‎【答案】(1) －＝1；(2) 15 ‎(2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)，‎ ‎|AB|＝10，‎ 设M(x0，y0)，则由＝得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5, 2y0)．‎ 将M，P坐标代入椭圆和双曲线方程，‎ 得 消去y0，得2x－5x0－25＝0.解之，‎ 得x0＝－或x0＝5(舍去)．‎ 所以y0＝.‎ 由此可得M，‎ 所以P(－10,3)．‎ 当P为(－10,3)时，‎ 直线PA的方程是y＝(x＋5)，‎ 即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.‎ 所以x＝－或－5(舍去)，‎ 所以xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴．‎ 所以S四边形ANBM＝2S△AMB ‎＝2××10×＝15.‎