2018-2019学年山东省邹城市高二上学期12月月考数学试卷 解析版 17页

绝密★启用前 山东省邹城市2018-2019学年高二上学期12月月考数学试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数，则其虚部为（ ）‎ A．-1 B．2 C．-2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用复数的运算法则进行求解．‎ 详解：因为，‎ 所以复数的虚部为2.‎ 点睛：本题考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎2．设函数（为自然对数的底数）.若，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用函数的求导法则求导，再代值求导．‎ 详解：因为，‎ 所以数，‎ 若，所以1‎ 点睛：本题考查导数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎3．,是距离为2的两定点，动点M满足∣∣+∣∣=4,则M点的轨迹是 A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可判断M点的轨迹是椭圆.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义，,是距离为2的两定点，则动点M满足∣∣+∣∣=4,即 ‎ ，则M点的轨迹是椭圆.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义，属基础题.‎ ‎4．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为，双曲线过点所求双曲线方程为，即为，故选B.‎ ‎5．在区间上的最小值是 A． B．0 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数在的单调性，继而求出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）=x-lnx， ∴函数的定义域为（0，+∞），由f′（x）=0得x=1． 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；       当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；     由此可知，函数f（x）在上递减，在（1，e]上递增， ∴当x=1是函数f（x）的最小值点，f（1）=1-0=1 故f（x）的最小值是1．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查运用导数解决函数的最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间.‎ ‎6．与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）‎ A、（）和（）； ‎ B、（）；‎ C、（）和（）； ‎ D、（）；‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据共线的定义可得，设与向量共线的单位向量为，所以，可得，所以与向量共线的单位向量为或，故选A。‎ ‎7． 若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．以上都不是 ‎【答案】A ‎【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。‎ 解：==，故选A。‎ ‎8．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是 A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查函数的导数与单调性.‎ 从导数的图象可知，函数有，两个极值点，其中是极小值，是极大值.‎ 当时，则在递减；‎ 当时，则在在递增；‎ 当时，则在在递增递减 观察上面的函数图象，符合条件的只有C ‎9．已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆方程为 ，可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出 最后可得椭圆的离心率 ‎【详解】‎ 设椭圆方程为， ∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点， ∴焦距2c=AB，其中 ‎ ‎∵BC⊥AB，且BC=AB=2c， ∴ ，‎ 根据椭圆的定义，可得 ‎ ‎∴椭圆的离心率 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆以正方形的一边为焦距，而正方形的另两个顶点恰好在椭圆上，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单性质，属于基础题．‎ ‎10．如图,是直三棱柱，∠BCA=90°，点、分别是、的中点,若，则与所成角的余弦值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC的中点D，连接D1F1，F1D，AD．利用三角形的中位线定理可得D1B∥D1F，因此∠DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角．在△DF1A中利用余弦定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 取BC的中点D，连接D1F1，F1D，AD． ∴D1B∥D1F，∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角． 设BC=CA=CC1=2，则 ． 在△DF1A中，利用余弦定理可得 ． 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、余弦定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．‎ ‎11．函数的图像在区间上连续不断，且，，则对任意的都有 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意构造函数求出h（x）的导数， 由条件判断出h′（x）的符号，得到函数在区间上的单调性，由单调性的定义和选项列出不等式，再化简即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意设 ‎ 所以 ， 因为，所以 ‎ 则函数h（x）在[a，b]上单调递增，‎ 因为b＞a，所以h（b）＞h（x）或h（x）＞h（a），即 或 ， 所以 或， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性的关系，函数单调性的定义的应用，考查构造函数法，构造恰当的函数是解题的关键，属于中档题．‎ ‎12．对实数和，定义运算“”：,设函数若函数的图像与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据依题意确定函数f（x）的解析式，画出函数图象，通过观察确定c的范围．‎ ‎【详解】‎ 有定义可得，当≤时，即-1≤x≤2时，‎ f（x）=， 当＞时，即x＞2或x＜-1，f（x）= 函数图象如图：=f（x）-c的图象是由函数f（x）向下平移c个单位获得的，如图，要使函数图象与x轴恰有三个交点，函数的极大值 极小值 由此解得 . 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数图象与性质，函数图象的平移，分段函数的应用．注重了对数形结合的思想的运用．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．抛物线的准线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是 ‎14．设复数满足（为虚数单位），则的值为__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.‎ 详解：因为，所以==，‎ 所以 点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． ‎ ‎15．在图四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝3GD，＝a，＝b，＝c，=_________.（用基底{a，b，c}表示向量） ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，然后利用向量加减法的三角形法则求得．‎ ‎【详解】‎ 如图， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的基本定理及其意义，考查向量加减法的三角形法则，是基础题．‎ ‎16．已知，函数定义域中任意的，有如下结论：‎ ‎①； ②；‎ ‎③ ④‎ 上述结论中正确结论的序号是_______________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 对于①② 分别表示在处切线斜率 表示 与 两点连线的斜率，画出的图象，数学数学结合判断出①对，②错；对于③，由于是增函数，故有成立，故③正确；对于④，的图象上凸性质，所以有，故④不正确，故答案为①③.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数 (，为虚数单位)‎ ‎(1)若是纯虚数，求实数的值；‎ ‎(2)若，设 ()，试求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；‎ ‎（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出。‎ 详解：（Ⅰ）若是纯虚数，则，‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）若，则. ‎ ‎∴ ‎ ‎， ‎ ‎∴，，∴. ‎ 点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算。对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数 的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.‎ 试题解析：（I）的定义域为.当时，‎ ‎，‎ 曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 设，则 ‎，‎ ‎（i）当，时，，故在 上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎.‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 ‎【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 ‎【名师点睛】求函数的单调区间的方法：‎ ‎（1）确定函数y＝f（x）的定义域；‎ ‎（2）求导数y′＝f′（x）；‎ ‎（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ 视频 ‎19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．‎ ‎（1）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎（2）求二面角C-EM-N的正弦值；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦值；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点，∴MF∥BD， ∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC， 又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F． ∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （2）∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°． ∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2， ∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则 ‎ 设平面MEN的一个法向量为 ‎ 由 ，得 ，取z=2，得 ‎ 由图可得平面CME的一个法向量为 ‎ ‎∴ ． ∴二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．‎ ‎20．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建个桥墩，记余下工程的费用为万元.‎ ‎（1）试写出关于的函数关系式；（注意：）‎ ‎（2）需新建多少个桥墩才能使最小？‎ ‎【答案】（1）；（2）9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两墩相距m米，写出n关于x的函数关系式； （2）根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式； （3）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 即 所以 （）‎ ‎（2） 由（1）知，‎ 令，得，所以=64 ‎ 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数； ‎ 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，‎ 所以在=64处取得最小值，此时，‎ 故需新建9个桥墩才能使最小 ‎【点睛】‎ 本题考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，点在上 ‎（1）求的方程 ‎（2）直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是 .‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线, ,把代入得 故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ 视频 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明.‎ ‎【答案】（1）若，则当时， ，故在单调递增．若，则当时， ；当时， ．故在单调递增，在单调递减；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时， ，则在单调递增；当时， 在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.‎ 试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.‎ 若a≥0，则当x∈（0，+）时， ，故f（x）在（0，+）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈时， ；当x∈时， .故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为 ‎.‎ 所以等价于，即.‎ 设g（x）=lnx-x+1，则.‎ 当x∈（0,1）时， ；当x∈（1，+）时， .所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时， ，即.‎ ‎【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎