数学卷·2017届上海市长宁区延安中学高三下学期开学数学试卷 （解析版） 24页

‎2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷 ‎　‎ 一.填空题 ‎1．已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B=　　．‎ ‎2．已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=　　．‎ ‎3．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为　　（结果保留π）．‎ ‎4．已知无穷等比数列{an}中，，，则=　　．‎ ‎5．复数z满足=1+i，则复数z的模等于　　．‎ ‎6．在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为　　（用数值作答）‎ ‎7．设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||•||=　　．‎ ‎8．已知，以为边作平行四边形OACB，则与的夹角为　　．‎ ‎9．从集合{1，2，3，…，10}中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是　　．‎ ‎10．定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为　　．‎ ‎11．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为　　．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：‎ ‎①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；‎ ‎②；‎ ‎③n（n+1）；‎ ‎④n（n+1）f（1）．‎ 其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是　　．‎ ‎　‎ 二.选择题 ‎13．“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 ‎14．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎15．已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S△PBC：SPCA：S△PAB等于（　　）‎ A．4：3：2 B．2：3：4 C．：： D．：：‎ ‎16．设{an}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{bn}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（　　）‎ A． B．（3，4） C． D．‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎17．已知sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），求sin4α．‎ ‎18．如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；‎ ‎（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60°，并请说明 你的理由；‎ ‎（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．‎ ‎19．已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．‎ ‎（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（﹣a，0），且与椭圆相交于另一点B；‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若线段AB长为，求直线l的倾斜角；‎ ‎（3）点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．‎ ‎21．从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．设数列{an}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．‎ ‎（1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．‎ ‎（2）若a1=7d，从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．‎ ‎（3）若a1=1，从数列{an}中取出第1项、第m（m≥2）项（设am ‎=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题 ‎1．已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B=　{x|﹣5＜x≤﹣1}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|＜0}={x|﹣5＜x＜2}，‎ B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣1或x≥3}，‎ ‎∴A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．‎ 故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}．‎ ‎　‎ ‎2．已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=　　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】欲求，只需令arcsin（2x+1）=求出x的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论．‎ ‎【解答】解：令arcsin（2x+1）=‎ 即sin=2x+1=‎ 解得x=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎3．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为　12π　‎ ‎（结果保留π）．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h ‎∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，‎ ‎∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3‎ 因此，圆锥的高h==4‎ ‎∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π 故答案为：12π ‎　‎ ‎4．已知无穷等比数列{an}中，，，则=　　．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【分析】设无穷等比数列{an}的公比为q，运用等比数列的通项公式解方程可得q，再由等比数列的前n项和的公式，结合极限公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设无穷等比数列{an}的公比为q，‎ 由，，‎ 可得q•q2=﹣，‎ 解得q=﹣，‎ 则=‎ ‎=‎ ‎==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．复数z满足=1+i，则复数z的模等于　　．‎ ‎【考点】复数求模；二阶矩阵．‎ ‎【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，‎ ‎∴|z|==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为　210　（用数值作答）‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】通项公式Tr+1=tan10﹣rx•cotrx=tan10﹣2rx，令10﹣2r=2，解得r即可得出．‎ ‎【解答】解：通项公式Tr+1=tan10﹣rx•cotrx=tan10﹣2rx，‎ 令10﹣2r=2，解得r=4．‎ ‎∴tan2x的系数==210．‎ 故答案为：210．‎ ‎　‎ ‎7．设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||•||=　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的标准方程，由双曲线的定义及勾股定理即可求得：||•||=2．‎ ‎【解答】解：∵双曲线x2﹣4y2=4，‎ ‎∴双曲线的标准方程：，则a=2，b=1，c=，‎ 双曲线的定义可知：|||﹣丨丨|=4 ①，‎ ‎，则⊥，‎ 由勾股定理可知：||2+丨丨2=（2）2，②‎ 由①②解得：||•||=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎8．已知，以为边作平行四边形OACB，则与的夹角为　　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】想根据平行四边形的各边之间的关系以及向量的三角形法则求出，；再代入公式cosθ=即可求解．‎ ‎【解答】解：∵OACB为平行四边形，‎ ‎∴===（0，3），=（﹣2，1），‎ ‎∴cos＜＞===．‎ 即与的夹角为arccos．‎ 故答案为：arccos．‎ ‎　‎ ‎9．从集合{1，2，3，…，10}中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是　80　．‎ ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【分析】为了满足和不等于11，先将和等于11放在一组，后在每一组中各抽取一个，利用乘法原理即可求得．‎ ‎【解答】解：将和等于11放在一组：‎ ‎1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．‎ 从每一小组中取一个，‎ 共有••••=5×2×2×2×2=80，‎ 故答案为：80．‎ ‎　‎ ‎10．定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为　30　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由题意求出函数周期，并求得方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．然后结合中点坐标公式求得答案．‎ ‎【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），‎ 又f（x）关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），‎ 可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴f（4+x）=﹣f（2+x）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．‎ ‎∴f（x）是以4为周期的周期函数．‎ 当0＜x≤1时，f（x）=log3x≤0，‎ 当﹣1≤x＜0时，0＜﹣x≤1，∴f（﹣x）=log3（﹣x），则f（x）=﹣log3（﹣x）≥0．‎ ‎=﹣＜0．‎ ‎∴方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．‎ 则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为2×1+2×5+2×9=30．‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎11．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为　　．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于﹣1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可．‎ ‎【解答】解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，‎ ‎∴k=1，又圆心在直线x+y=0上 ‎∴‎ ‎∴m=﹣1‎ ‎∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，‎ ‎△AOB为不等式所表示的平面区域，联立解得B（﹣，），A（﹣1，0），‎ 所以S△AOB=×|﹣1|×|﹣|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：‎ ‎①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；‎ ‎②；‎ ‎③n（n+1）；‎ ‎④n（n+1）f（1）．‎ 其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是　①②③　．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】由已知，定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，依次对下面四个结论进行判断，‎ ‎【解答】解：由定义知f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）==f（1）=n（n+1）；‎ 故①②③正确，④不正确；‎ 故应填①②③．‎ ‎　‎ 二.选择题 ‎13．“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．‎ ‎【解答】解：f（x）≥3”推不出“f（x）的最小值为3；‎ 当f（x）的最小值为3，一定能得到f（x）≥3‎ 故“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的必要非充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎14．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．‎ ‎【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，‎ 又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；‎ 对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面α是正方体下底面所在的平面，‎ 则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；‎ 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②‎ 故选：A ‎　‎ ‎15．已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S△PBC：SPCA：S△PAB等于（　　）‎ A．4：3：2 B．2：3：4 C．：： D．：：‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知得．延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，则P是△PB1C1的重心，设=3S，则=S，由此能求出S△PBC：S△PCA：S△PAB的值．‎ ‎【解答】解：∵P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，‎ ‎∴．‎ 延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，‎ 连结PB1、PC1、B1C1，则．‎ ‎∴P是△PB1C1的重心，‎ 设=3S，则=S，‎ ‎，‎ S△PCA=，S△PAB=，‎ ‎∴S△PBC：S△PCA：S△PAB==2：3：4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎16．设{an}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{bn}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（　　）‎ A． B．（3，4） C． D．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由bn+1﹣bn=an+1﹣an==logq，得出数列{bn}是以logq为公差，以loga1=6为首项的等差数列，由已知仅当n=4时Tn最大，通过解不等式组 求出公比q的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的公比为q，首项 ‎∴bn+1﹣bn=logan+1﹣logan=log=logq ‎∴数列{bn}是以logq为公差，以loga1=6为首项的等差数列，‎ ‎∴bn=6+（n﹣1）logq．‎ 由于当且仅当n=4时Tn最大，‎ ‎∴logq＜0，且 ‎∴‎ ‎∴﹣2‎ 即2＜q＜4‎ 故选：C ‎　‎ 三.解答题 ‎17．已知sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），求sin4α．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用诱导求出cos2α=，由此利用同角三角函数关系式和二倍角公式能求出sin4α．‎ ‎【解答】解：∵sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），‎ ‎∴sin（+α）sin[﹣（+α）]‎ ‎=sin（+α）cos（+α）‎ ‎=‎ ‎==，‎ ‎∴cos2α=，‎ ‎∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），‎ ‎∴sin2α=﹣=﹣，‎ ‎∴sin4α=2sinαcosα=﹣2×=．‎ ‎　‎ ‎18．如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；‎ ‎（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60°‎ ‎，并请说明 你的理由；‎ ‎（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设D1P=λD1B1，把P的坐标用λ表示，然后分别求出的坐标，再由|cos＜＞|=cos60°列式求得λ值得答案；‎ ‎（2）由图可得四棱锥Q﹣DBB1P的高为A1P，再求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥Q﹣DBB1P的体积．‎ ‎【解答】解：（1）P是线段B1D1中点．‎ 证明如下：‎ 以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），Q（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，2），B1（1，1，2），‎ 设D1P=λD1B1，则，∴P（λ，λ，2），‎ ‎∴=（λ，λ，2），又=（0，1，﹣1），‎ ‎∴|cos＜＞|=||=cos60．‎ ‎∴||=，解得：；‎ ‎（2）连接A1P，则A1P⊥平面DBB1D1，‎ ‎∵A1Q∥平面DBB1D1，∴四棱锥Q﹣DBB1P的高为．‎ ‎=．‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎19．已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．‎ ‎（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；指数型复合函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）由二次函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得，或，解得a、b的值，即可得到函数f（x）的解析式．‎ ‎（2）不等式即，在时，设，则k≤（t﹣1）2，根据（t﹣1）2min＞0，求得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由于二次函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b的对称轴为x=1，‎ 由题意得：1°，解得．‎ 或 2°，解得．（舍去） ‎ ‎∴a=1，b=0．‎ 故g（x）=x2﹣2x+1，．‎ ‎（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即，∴．‎ 在时，设，∴k≤（t﹣1）2，‎ 由题意可得，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，故t≠1，即≤t≤2，且t≠1．‎ ‎∵（t﹣1）2min＞0，∴k≤0，即实数k的取值范围为（﹣∞，0]．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（﹣a，0），且与椭圆相交于另一点B；‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若线段AB长为，求直线l的倾斜角；‎ ‎（3）点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，列出方程组求出a，b，即可求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论．‎ ‎（3）设直线l的方程为y=k（x+2），由，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由此根据k=0和k≠0两种情况分类讨论经，能求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，‎ 连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，‎ ‎∴，‎ 解得a=2，b=1．‎ 所以椭圆的方程为+y2=1．‎ ‎（2）由（1）可知点A的坐标是（﹣2，0）．‎ 设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．‎ 代入椭圆方程，消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．‎ 由﹣2x1=，得．‎ 从而．‎ 所以|AB|==．‎ 由|AB|=，得=．‎ 整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．‎ 所以直线l的倾斜角或．‎ ‎（3）由（1）可知A（﹣2，0）．设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为y=k（x+2），‎ 于是A，B两点的坐标满足方程组，‎ 由方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，‎ 由﹣2x1=，得，从而，‎ 设线段AB是中点为M，则M的坐标为（﹣，），‎ 以下分两种情况：‎ ‎①当k=0时，点B的坐标为（2，0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ‎=（﹣2，﹣y0），=（2，﹣y0），由，得y0=；‎ ‎②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y﹣=，‎ 令x=0，解得，‎ 由=（﹣2，﹣y0），=（x1，y1﹣y0），‎ ‎=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0）=+（+）==4，‎ 整理得7k2=2，故k=，解得．‎ 综上或．‎ ‎　‎ ‎21．从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．设数列{an}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．‎ ‎（1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．‎ ‎（2）若a1=7d，从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．‎ ‎（3）若a1=1，从数列{an}中取出第1项、第m（m≥2）项（设am=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）由题设知（a1+d）2=a1（a1+4d），由此可求出其公比．‎ ‎（2）设等比数列为{bm}，其公比，，由题设an=a1+（n﹣1）d=（n+6）d．再由反证法能够推出该数列不为{an}的无穷等比子数列．‎ ‎（3）①设{an}的无穷等比子数列为{br}，其公比（t≠1），得br=tr﹣1，由此入手能够推导出t是大于1的正整数．‎ ‎②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{an}存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项．综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{an}存在无穷等比子数列．‎ ‎【解答】解：（1）由题设，得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），得d2=2a1d，又d≠0，‎ 于是d=2a1，故其公比．‎ ‎（2）设等比数列为{bm}，其公比，，‎ 由题设an=a1+（n﹣1）d=（n+6）d．‎ 假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，‎ 则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使an=bm，‎ 即，‎ 得，‎ 当m=5时，，与假设矛盾，‎ 故该数列不为{an}的无穷等比子数列．‎ ‎（3）①设{an}的无穷等比子数列为{br}，其公比（t≠1），得br=tr﹣1，‎ 由题设，在等差数列{an}中，，，‎ 因为数列{br}为{an}的无穷等比子数列，‎ 所以对任意自然数r（r≥3），都存在n∈N*，使an=br，‎ 即，‎ 得，‎ 由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m﹣1均为正整数，‎ 可知tr﹣2+tr﹣3+t+1必为正整数，‎ 又d≠0，‎ 故t是大于1的正整数．‎ ‎②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{an}存在无穷等比子数列．‎ 即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项．‎ 在等比数列{br}中，br=tr﹣1，‎ 在等差数列{an}中，，，‎ 若br为数列{an}中的第k项，则由br=ak，得 ‎，‎ 整理得，‎ 由t，m﹣1均为正整数，得k也为正整数，‎ 故无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项，得证．‎ 综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{an}存在无穷等比子数列．‎