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- 2021-07-01 发布
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单元检测九 解析几何(提升卷)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间100分钟,满分130分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线l经过点(,-2)和(0,1),则它的倾斜角是( )
A.30°B.60°C.150°D.120°
答案 D
解析 由斜率公式k===-,再由倾斜角的范围[0°,180°)知,tan120°=-,故选D.
2.直线kx-y-3k+3=0过定点( )
A.(3,0) B.(3,3)
C.(1,3) D.(0,3)
答案 B
解析 kx-y-3k+3=0可化为y-3=k(x-3),所以过定点(3,3).故选B.
3.直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1),当此直线在x,y轴的截距和最小时,实数a的值是( )
A.1B.C.2D.3
答案 D
解析 当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=,令t=a+3+,因为a>1,所以t>5,且a2+(3-t)a+t=0,则Δ=(3-t)2-4t≥0,解得t≥9或t≤1(舍去),所以t的最小值为9,把t=9代入上述方程解得a=3.
4.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为( )
A.B.2C.1D.3
答案 A
解析 圆的圆心为(3,0),r=1,圆心到直线x-y+1=0的距离为d==2,所以
由勾股定理可知切线长的最小值为=.
5.一束光线从点A(-1,1)发出,并经过x轴反射,到达圆(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是( )
A.4B.5C.3-1D.2
答案 A
解析 依题意可得,点A关于x轴的对称点A1(-1,-1),圆心C(2,3),A1C的距离为=5,所以到圆上的最短距离为5-1=4,故选A.
6.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则实数a的值为( )
A.2B.-2C.2或-2D.或-
答案 C
解析 由|+|=|-|得|+|2=|-|2,化简得·=0,即⊥,三角形AOB为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为,即=,a=±2.
7.点P(2,-1)为圆(x-3)2+y2=25的弦的中点,则该弦所在直线的方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
答案 B
解析 点P(2,-1)为圆(x-3)2+y2=25的弦的中点,设圆心为C(3,0),则该弦所在直线与PC垂直,故弦的斜率为k=-=-=-1,则由直线的点斜式可得弦所在直线的方程为y-(-1)=-1×(x-2),即x+y-1=0.
8.已知直线y=ax与圆C:(x-a)2+(y-1)2=a2-1交于A,B两点,且∠ACB=60°,则圆的面积为( )
A.6πB.36πC.7πD.49π
答案 A
解析 由题意可得圆心C(a,1),半径R=(a≠±1),
∵直线y=ax和圆C相交,△ABC为等边三角形,
∴圆心C到直线ax-y=0的距离为
Rsin60°=×,
即d==,解得a2=7,
∴圆C的面积为πR2=π(7-1)=6π.
故选A.
9.已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为( )
A.3 B.或3
C. D.或
答案 B
解析 当m>5时,a2=m,b2=5,c2=m-5,e2==,解得m=;
当0<m<5时,a2=5,b2=m,c2=5-m,e2==,解得m=3.
故选B.
10.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 B
解析 由已知条件得直线l的斜率为k=kFN=1,
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30
得,=,从而=1,
即4b2=5a2,又a2+b2=9,解得a2=4,b2=5,故选B.
11.已知直线l:kx-y-2k+1=0与椭圆C1:+=1(a>b>0)交于A,B两点,与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1交于C,D两点.若存在k∈[-2,-1],使得=,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 直线l过圆C2的圆心,∵=,
∴||=||,
∴C2的圆心为A,B两点的中点.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则两式相减得,
=-,
化简可得-2·=k,又∵a>b,∴=-∈,
所以e=∈.
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1与e2满足的关系是( )
A.+=2 B.-=2
C.e1+e2=2 D.e2-e1=2
答案 B
解析 由椭圆与双曲线的定义得e1=,e2=,所以-==2,故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=________.
答案 2
解析 设A(x0,y0),由抛物线定义知x0+1=2,
∴x0=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.
14.在平面直角坐标系xOy中,若圆C:(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线l:kx+y+3=0上,则实数k的最小值为________.
答案 -
解析 方法一 圆C:(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆C′的方程为(x-2)2+(y+2)2=1,则符合题意的k的取值范围就是圆C′与l有公共点时k的取值范围,∴≤1,∴-≤k≤0,即k的最小值为-.
方法二 ∵M在圆C:(x-2)2+(y-2)2=1上,
∴可设M(2+cosθ,2+sinθ),
可得N(2+cosθ,-2-sinθ),
将N的坐标代入kx+y+3=0,
可得sinθ-kcosθ=2k+1,|2k+1|≤,
化简得3k2+4k≤0,解得-≤k≤0,
∴k的最小值为-.
15.(2018·河南新乡高三模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,点M,N,射线MO,NO分别交抛物线C于异于点O的点A,B,若A,B,F三点共线,则p的值为________.
答案 2
解析 直线OM的方程为y=-x,将其代入x2=2py,
解方程可得故A.
直线ON的方程为y=x,将其代入x2=2py,
解方程可得故B.
又F,所以kAB=,kBF=,
因为A,B,F三点共线,所以kAB=kBF,即=,解得p=2.
16.已知A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,两不同点P,Q在椭圆C上,且关于x轴对称,设直线AP,BQ的斜率分别为m,n,则当+++ln|m|+ln|n|取最小值时,椭圆C的离心率为________.
答案
解析 设点P(x0,y0),则+=1,所以mn=,从而+++ln|m|+ln|n|=++
+ln,设=x,令f(x)=+lnx(00,
解得b>0)的离心率为,且过点,过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P,交直线l:x=m(m>a)于点M,已知点B(1,0),直线PB交l于点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若MB是线段PN的垂直平分线,求实数m的值.
解 (1)因为椭圆C的离心率为,所以a2=4b2.
又因为椭圆C过点,
所以+=1,解得a2=4,b2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)方法一 设P(x0,y0),-22,所以m=.
方法二 ①当AP的斜率不存在或为0时,不满足条件.
②当AP的斜率存在且不为0时,
设AP的斜率为k,则AP:y=k(x+2),
联立消去y,得
(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,
且Δ=(16k2)2-4×(16k2-4)(4k2+1)>0.
设A(xA,0),P(xP,yP),
因为xA=-2,所以xP=,
所以yP=,
所以P.
因为PN的中点为B,
所以m=2-=. (*)
因为AP交直线l于点M,
所以M(m,k(m+2)),
因为直线PB与x轴不垂直,
所以≠1,即k2≠.
设直线PB,MB的斜率分别为kPB,kMB,
则kPB==,
kMB=.
因为PB⊥MB,所以kPB·kMB=-1,
所以·=-1. (**)
将(*)代入(**),化简得48k4-32k2+1=0,
解得k2=,
所以m==.
又因为m>2,所以m=.
20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,其上顶点到直线3x+4y-1=0的距离等于.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,交x轴的负半轴于点E,交y轴于点F(点E,F都不在椭圆上),且=λ1,=λ2,λ1+λ2=-8,证明:直线l恒过定点,并求出该定点.
解 (1)由椭圆C的长轴长为4知2a=4,故a=2,
椭圆的上顶点为(0,b),则由=得b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),E(m,0)(m<0,m≠-2),F(0,n),
由=λ1,
得(x1,y1-n)=λ1(m-x1,-y1),
所以A.
同理由=λ2,得B,
把A,B分别代入+y2=1
得:
即λ1,λ2是关于x的方程(4-m2)x2+8x+4-4n2=0的两个根,∴λ1+λ2==-8,
∴m=-,所以直线l恒过定点(-,0).