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- 2021-07-01 发布
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高二年级第一次月考
数学试题
命题人:董存会
【满分150分,考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合,.若,则( )
A. B. C. D.
2.设,向量 且 ∥,则|+|=( )
A. B. C.2 D.10
3. 如果直线与平面α不垂直,那么在平面α内( )
A.不存在与垂直的直线 B.存在一条与垂直的直线
C.存在无数条与垂直的直线 D.任一条都与垂直
4.是两个平面,是两条直线,有下列四个命题,其中正确的个数为( )
(1)如果,那么
(2)如果,那么.
(3)如果,那么.
(4)如果,那么与所成的角和与所成的角相等.
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 的斜二侧直观图如图所示,则的面积为( )
A、 B、 C、 D、
6.一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“?”处的数字是( )
A.6 B.3 C.1 D.2
7. 三个互不重合的平面能把空间分成n部分,则n所有可能值为 ( )
A.4、6、8 B.4、6、7、8
C.4、6、7 D.4、5、7、8
8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )
是
否
开始
结束
输出S
A. B. C.4 D.5
9.执行如图的程序框图,输出的值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10. 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( )
A. B. C. D.
11. 已知函数,则有( )
A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于点对称
C.函数为偶函数 D.函数在区间内单调递减
12.已知函数,若有三个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 在四面体ABCD中,,,,则该四面体外接球的表面积为 .
14. 若满足约束条件,则的最小值为__________.
15. 已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于 ______.
16. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:
①BM与ED平行;
②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60°角;
④DM与BN是异面直线.
以上四个命题中,正确命题的序号是___________.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答题纸的相应位置上)
17.(本小题满分10分)
在锐角△ABC中,内角的对边分别为, 且,
(Ⅰ)求角的大小.
(Ⅱ) 若,求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)
等差数列的前项和为,且.
(1) 数列满足:求数列的通项公式;
(2) 设求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)
如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,,OA⊥面ABCD,OA=2,M、N分别为OA、BC的中点
(1)证明:直线MN∥平面OCD;
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(3)求点B到平面OCD的距离.
20.(本小题满分12分)
已知四棱锥A﹣BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥面ABC;
(Ⅱ)求证:EF⊥平面ACD;
(Ⅲ)求四棱锥A﹣BCDE的体积.
21.(本小题满分12分)
为了解大学生身高情况,从某大学随机抽取100名学生进行身高调查,得出如下统计表:
身高(cm)
[145, 155)
[155, 165)
[165, 175)
[175, 185)
[185, 195)
[195, 205]
人数
12
a
35
22
b
2
频率
0.12
c
d
0.22
0.04
0.02
(1)求表中b、c、d的值;
(2)根据上面统计表,估算这100名学生的平均身高;
(3)若从上面100名学生中,随机抽取2名身高不低于185cm的学生,求这2名学生中至少有1名身高不低于195cm的概率.
22.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;
(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E—ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积
高二年级第一次月考数学试题参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.B 8.B 9.D 10.B 11.B 12.D
二. 填空题
13. 14.-1 15. 16.
三、解答题
17.解(1)由已知可得,且,又………………………………………………4分
(2)由(1)知,于是根据可得
,解得,所以………………………10分
18. 解:(1)设等差数列的公差为,由已知
解得: ∴ ………………………………………..3分
又
………………………………………..6分
(2) ………………………………………8分
∴
………………………………………………12分
19. 解:(1)取OD的中点E,连接ME、CE则四边形MNCE为平行四边形,
∴MN//CE,又
∴MN∥平面OCD
(2)∵,
∴为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)
作于点P,连接MP
∵,∴ ∵,∴
∵,
∴,
所以,异面直线AB与MD所成的角为。
(3)∵,∴点B和点A到平面的距离相等。
连接OP,过点A作于点Q
∵,∴,∴又∵,
∴,
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离,与点B到平面OCD的距离相等
, ,
所以,点B到平面OCD的距离为
20. 证明:(Ⅰ)取AC中点G,连接FG、BG,
∵F,G分别是AD,AC的中点 ∴FG∥CD,且FG=DC=1.
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG. 又∵EF⊄面ABC,BG⊂面ABC
∴EF∥面ABC……………………………………………………………………………………………..4分
(Ⅱ)∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC,BG⊂面ABC ∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC,
∴BG⊥面ADC.
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC …………………………………………………………………………………………..8分
(Ⅲ)方法一:连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC.
…..12分
方法二:取BC的中点为O,连接AO,则AO⊥BC,又CD⊥平面ABC,
∴CD⊥AO,BC∩CD=C,∴AO⊥平面BCDE,
∴AO为VA﹣BCDE的高,,
∴………………………………………………………..12分
21. 解:(1)由,得,由,得,
所以 ………………3分
(2) …6分
(3)设身高在[185, 195)内的学生为A1, A2, A3, A4,在[195, 205]内的学生为B1, B2, 则从
[185, 205]内随机抽取2名学生的所有基本事件有:A1A2, A1A3, A1A4, A2A3, A2A4, A3A4, A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2, A4B1, A4B2, B1B2,共15个 ……………9分
设“2名学生中至少有一位学生身高不低于195cm”为事件A,则事件A包含基本事件共9个,所以 ……………………11分
即2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm的概率为. ………………12分
(注意:用间接法计算的可酌情给分。)
22.