2018届二轮复习（理）专题七　概率与统计第2讲　概　率课件（全国通用） 48页

第 2 讲　概　率 专题七 　 概率与统计 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　古典概型和几何概型 1. 古典概型的概率 2. 几何概型的概率 例 1 　 (1) 有 2 个男生和 2 个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为 答案 解析 √ 解析　 设两男两女分别为 a 1 ， a 2 ， b 1 ， b 2 ，则基本事件分别是 ( a 1 ， a 2 ) ， ( a 1 ， b 1 ) ， ( a 1 ， b 2 ) ， ( a 2 ， a 1 ) ， ( a 2 ， b 1 ) ， ( a 2 ， b 2 ) ， ( b 1 ， a 2 ) ， ( b 1 ， a 1 ) ， ( b 1 ， b 2 ) ， ( b 2 ， a 2 ) ， ( b 2 ， a 1 ) ， ( b 2 ， b 1 ) ，基本事件总数 n ＝ 12 ，其中 第二 个 上车的是女生的基本事件数 m ＝ 6 ，所以概率 P ＝ ， 故选 B. (2)(2017 届江西省重点中学盟校联考 ) 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M 是 AB 的中点，过 C ， M ， D 三点的抛物线与 CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是 答案 解析 √ 思维升华 解析　 以 M 为原点， BA 所在直线为 y 轴， BA 的垂线为 x 轴，建立平面直角坐标系 ， 思维升华　 (1) 解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识 . (2) 在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性 . (3) 当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 . 跟踪演练 1 　 (1)(2017· 山东 ) 从分别标有 1,2 ， … ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 答案 解析 √ 解析　 方法一 　 ∵ 9 张卡片中有 5 张奇数卡片， 4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， (2)RAND(0,1) 表示生成一个在 (0,1) 内的随机数 ( 实数 ) ，若 x ＝ RAND(0,1) ， y ＝ RAND(0,1) ，则 x 2 ＋ y 2 <1 的概率为 答案 解析 √ 热点二　相互独立事件和独立重复试验 1. 条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率 2. 相互独立事件同时发生的概率 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ). 3. 独立重复试验、二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 例 2 　 (1)(2017 届江西赣州二模 ) 如图， ABCD 是以 O 为 圆心、半径为 2 的圆的内接正方形， EFGH 是 正方 形 ABCD 的内接正方形，且 E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 . 将一枚针随机掷到圆 O 内， 用 M 表示事件 “ 针落在正方形 ABCD 内 ” ， N 表示 事件 “ 针落在正方形 EFGH 内 ” ，则 P ( N | M ) 等于 答案 解析 √ 解析　 由题意得，圆 O 的半径为 2 ， 因为 E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点， 所以正方形 EFGH 的面积为 S 2 ＝ 2 2 ＝ 4 ， 答案 解析 (2) 如图所示，某快递公司送货员从公司 A 处准备开车送货到某单位 B 处，有 A → C → D → B ， A → E → F → B 两条路线 . 若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示 ( 例如 A → C → D 算作两个路段，路段 AC 发生堵车事件的概率 为 ， 路段 CD 发生堵车事件的概率 为 ). 若使途中发生堵车事件的概率较小，则由 A 到 B 应选择的路线是 ______________. A → E → F → B 思维升华 解析　 路线 A → C → D → B 途中发生堵车事件的概率 路线 A → E → F → B 途中发生堵车事件的概率 思维升华　 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点 (1) 求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 . (2) 注意辨别独立重复试验的基本特征： ① 在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况； ② 在每次试验中，事件发生的概率相同 . 跟踪演练 2 　 (1)(2017 届河北省石家庄市二模 ) 现有 3 道理科题和 2 道文科题共 5 道题，若不放回地一次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为 答案 解析 √ (2)(2017 届上海市宝山区二模 ) 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为 0.01 和 p ，每道工序产生废品相互独立 . 若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 0.960 3 ，则 p ＝ ______. 0.03 解析　 “ 不是废品 ” 这一事件，要保证第一次正品，第二次也是正品，所以概率 P ＝ (1 － 0.01)(1 － p ) ＝ 0.960 3 ，解得 p ＝ 0.03. 答案 解析 热点三　离散型随机变量的分布列 1. 离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) p i ≥ 0 ( i ＝ 1,2 ， … ， n ) ； (2) p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ 1. 2. 期望公式 E ( X ) ＝ x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x n p n . 3. 期望的性质 (1) E ( aX ＋ b ) ＝ aE ( X ) ＋ b ； (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ np . 4. 方差公式 D ( X ) ＝ [ x 1 － E ( X )] 2 · p 1 ＋ [ x 2 － E ( X )] 2 · p 2 ＋ … ＋ [ x n － E ( X )] 2 · p n ，标准差 为 5. 方差的性质 (1) D ( aX ＋ b ) ＝ a 2 D ( X ) ； (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 D ( X ) ＝ np (1 － p ). 例 3 　 (2017· 全国 Ⅲ ) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 ( 单位： ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 [20,25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . (1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 X ( 单位：瓶 ) 的分布列； 解答 解　 由题意知， X 所有的可能取值为 200,300,500 ， 由表格数据知 ， 则 X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位：元 ) ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n ( 单位：瓶 ) 为多少时， Y 的期望达到最大值？ 解答 思维升华 解　 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 ，至少为 200 ，因此只需考虑 200 ≤ n ≤ 500. 当 300 ≤ n ≤ 500 时， 若最高气温不低于 25 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ； 若最高气温位于区间 [20,25) ，则 Y ＝ 6 × 300 ＋ 2( n － 300) － 4 n ＝ 1 200 － 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ， 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × 0.4 ＋ (1 200 － 2 n ) × 0.4 ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 640 － 0.4 n . 当 200 ≤ n <300 时， 若最高气温不低于 20 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ， 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × (0.4 ＋ 0.4) ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 160 ＋ 1.2 n . 所以当 n ＝ 300 时， Y 的期望达到最大值，最大值为 520 元 . 思维升华　 求解随机变量分布列问题的两个关键点 (1) 求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率 . (2) 求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列 . 若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解 . 跟踪演练 3 　 (2017· 江苏省苏锡常镇四市调研 ) 已知袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球 . 一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是 0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将 3 个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中 . 当出现第 n 局得 n 分 ( n ∈ N * ) 的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束 . (1) 求在一局游戏中得 3 分的概率； 解答 解　 设在一局游戏中得 3 分为事件 A ， (2) 求游戏结束时局数 X 的分布列和期望 E ( X ). 解答 解　 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 所以 X 的分布列为 Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数 的 概率 为 ____. 解析 1 2 3 答案 4 解析　 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件总数为 25 ，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10 ， 1 2 3 4 2.(2017· 浙江改编 ) 已知随机变量 ξ i 满足 P ( ξ i ＝ 1) ＝ p i ， P ( ξ i ＝ 0) ＝ 1 － p i ， i ＝ 1,2. 若 0 ＜ p 1 ＜ p 2 ＜ ， 则 E ( ξ 1 )_____ E ( ξ 2 ) ， D ( ξ 1 )_____ D ( ξ 2 ).( 填 > ， < 或＝ ) 解析　 由题意可知 ξ i ( i ＝ 1,2) 服从两点分布， ∴ E ( ξ 1 ) ＝ p 1 ， E ( ξ 2 ) ＝ p 2 ， D ( ξ 1 ) ＝ p 1 (1 － p 1 ) ， D ( ξ 2 ) ＝ p 2 (1 － p 2 ) ， < 　 < 把方差看作函数 y ＝ x (1 － x ) ， 答案 解析 1 2 3 4 3.(2017· 全国 Ⅱ ) 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 D ( X ) ＝ ______. 1.96 答案 解析 解析　 由题意得 X ～ B (100,0.02) ， ∴ D ( X ) ＝ 100 × 0.02 × (1 － 0.02) ＝ 1.96. 1 2 3 4 4.(2017· 江苏 ) 记函数 f ( x ) ＝ 的 定义域为 D . 在区间 [ － 4,5 ] 上随机 取 一 个数 x ，则 x ∈ D 的概率是 ____. 答案 解析 解析　 设事件 “ 在区间 [ － 4,5 ] 上随机取一个数 x ，则 x ∈ D ” 为事件 A ， 由 6 ＋ x － x 2 ≥ 0 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 3 ， ∴ D ＝ [ － 2,3 ]. 如图，区间 [ － 4,5 ] 的长度为 9 ，定义域 D 的长度为 5 ， 1 2 3 4 押题预测 1. 某校在 2016 年的中学数学挑战赛中有 1 000 人参加考试，数学考试成绩 ξ ～ N (90 ， σ 2 )( σ >0 ，试卷满分 150 分 ) ，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数 的 ， 则此次数学考试成绩不低于 110 分的考生人数约为 A.200 B.400 C.600 D.800 √ 答案 解析 押题依据　 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注 . 1 2 3 押题依据 1 2 3 解析　 依题意得 P (70 ≤ ξ ≤ 110) ＝ 0.6 ， P ( ξ ≤ 110) ＝ 0.3 ＋ 0.5 ＝ 0.8 ， P ( ξ ≥ 110) ＝ 0.2 ， 于是此次数学考试成绩不低于 110 分的考生约有 0.2 × 1 000 ＝ 200( 人 ). 答案 解析 押题依据　 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点 . 1 2 3 2. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位 ， 移动 的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率 都是 . 质点 P 移动 五 次后位于点 (2,3) 的概率是 _____. 押题依据 解析　 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点 (2,3) ， 所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次， 1 2 3 解答 1 2 3 (1) 求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； 押题依据 1 2 3 押题依据 　 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的均值 . 1 2 3 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A ， 解答 1 2 3 (2) 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ，求 ξ 的分布列与期望 E ( ξ ). 1 2 3 解　 ξ 的可能取值为 0,2,4,6,8. 1 2 3 故 ξ 的分布列为